Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź rzut skalarny comp_b a wektora a = (0, 5, 1) na b = (−1, 0, −3), czyli składową a w kierunku b.

a = (0, 5, 1)b = (−1, 0, −3)

comp_b a =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź objętość V równoległościanu, którego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka to a = (−5, −3, 2), b = (−3, 3, −2) i c = (0, 1, 1).

a = (−5, −3, 2)b = (−3, 3, −2)c = (0, 1, 1)

V =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 5 mP₁ = 50 kN w 2 mP₂ = 60 kN w 3,5 m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 8 mP = 10 kN w 5 mw = 12 kN/m od 0 do 1 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 30 kN ↓C: 40 kN ↓D: 15 kN ↓F: 35 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 2 mB jest 5 m od Aobciążenie pionowe = 40 kNobciążenie poziome = 10 kN →

F_AC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 4 m, a B leży 4 m nad podłożem i 2,4 m na prawo od A. Na pręt AB w punkcie K, w odległości 0,6 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 6 kN. Wyznacz siłę F_BC w pręcie BC.

P = 6 kNL = 4 mH = 4 modległość pozioma od A do B = 2,4 modległość pozioma od A do K = 0,6 m

F_BC = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Jednorodny poziomy wysięgnik AB o ciężarze 1 kN jest zamocowany przegubowo do ściany w A i utrzymywany liną od B do punktu C na ścianie, 3 m nad A. W punkcie B wisi obciążenie 2 kN. Wyznacz wartość reakcji w sworzniu A.

W = 2 kNW_b = 1 kNAB = 2,5 mAC = 3 m

A = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 2 m aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P₁ między podporami i siłę skupioną P₂ w C. Wyznacz moment zginający M_B nad podporą B. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 7 mP₁ = 75 kN w 1,5 mP₂ = 80 kN w 7 mpodpory w x = 0 i x = 5 m

M_B = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 4 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 55 kN w 4 mw = 12 kN/m od 0 do 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 120 mm × 300 mm ma okrągły otwór o średnicy 40 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 210 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 120 mmh = 300 mmd = 40 mmśrodek otworu: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 120 mm × 200 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 60 mm i wysokości 40 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 120 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 120 mmh = 200 mmwycięcie: 60 × 40 mmśrodek otworu: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: comp_b a = −0,9487

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = 0·(−1) + 5·0 + 1·(−3) = −3

Długość b

|b| = √((−1)² + 0² + (−3)²) = 3,162

Rzut skalarny

comp_b a = a·b/|b| = −3/3,162 = −0,9487

Odpowiedź

comp_b a = −0,9487

Ujemny: a ma składową skierowaną przeciwnie do b.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: V = 40

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Iloczyn wektorowy b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 3·1 − (−2)·1 = 5

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−2)·0 − (−3)·1 = 3

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−3)·1 − 3·0 = −3

Iloczyn skalarny z a

a·(b × c) = (−5)·5 + (−3)·3 + 2·(−3) = −40

V = |−40| = 40

Odpowiedź

V = 40

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 48 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·2 + 60·3,5

R_B = 310/5 = 62 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 62 = 48 kN

Odpowiedź

R_A = 48 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 15 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 0,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·5 + 12·1·0,5

R_B = 56/8 = 7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 22 − 7 = 15 kN

Odpowiedź

R_A = 15 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł G

FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 54,38 kN (T), BC: 54,38 kN (T), CD: 35,62 kN (T), DE: 35,62 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 90,63 kN (C), HE: 59,37 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 9,375 kN (T), HC: 40,63 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 41,25 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·5 + 10·2 → C_y = 27,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 27,5 = 12,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −27,5/0,5547 = −49,58 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−49,58)·0,8321 = 41,25 kN

Odpowiedź

F_AC = 41,25 kN (rozciąganie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_BC = 0,9693 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Pręt dwusiłowy BC

BC = √(1,6² + 4²) = 4,308 m

Cała rama: momenty względem A

Podłoże naciska na BC w C wzdłuż CB; jego składowa pozioma przechodzi przez A, moment ma tylko składowa pionowa.

F_BC·(4/4,308)·4 = 6·0,6

F_BC = 0,9693 kN (ściskanie)

Odpowiedź

F_BC = 0,9693 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A = 2,142 kN

Siła w linie

T = (2 + 1/2)/0,7682 = 3,254 kN

Składowe w A

A_x = T·cos β = 2,083 kN

A_y = 2 + 1 − T·sin β = 0,5 kN

Długość

A = √(2,083² + 0,5²) = 2,142 kN

Odpowiedź

A = 2,142 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_B = −160 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki. Siła na wsporniku też daje moment względem A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 75·1,5 + 80·7

R_B = 672,5/5 = 134,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 155 − 134,5 = 20,5 kN

Przekrój w B, zostaw wspornik

Na wspornik działa tylko P₂, z ramieniem a. Wygina ona belkę nad podporą wypukłością do góry (moment ujemny).

M_B = −P₂·a = −80·2 = −160 kN·m

Odpowiedź

M_B = −160 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 68 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·4 + 12·5·2,5

R_B = 370/5 = 74 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 74 = 41 kN

Przetnij w x = 4 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 41·4 − 12·4·2 = 68 kN·m

Odpowiedź

M_x = 68 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 265,2 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (36000·150 − 1257·210)/(36000 − 1257) = 147,8 mm

Pełna płyta względem ȳ

120·300³/12 + 36000·2,17² = 270,2 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·40⁴/64 + 1257·62,17² = 4,983 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 265,2 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 265,2 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 78,61 × 10⁶ mm⁴

Środek ciężkości

ȳ = (24000·100 − 2400·120)/(24000 − 2400) = 97,78 mm

Pełna płyta względem ȳ

120·200³/12 + 24000·2,222² = 80,12 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

60·40³/12 + 2400·22,22² = 1,505 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 78,61 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 78,61 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics