W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Długość
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Wersor
û = a/|a|
Składowe z kąta
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Iloczyn skalarny
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b
a·b/|b|
Praca
W = F·d
Iloczyn wektorowy
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Pola
równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O
MO = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu
V = |a·(b × c)|
Metoda
Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.
Reakcje podpór belek
Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d
Metoda
Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.
Kratownica: równoważenie węzłów
Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie
Metoda
Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.
Ramy i maszyny
Równowaga każdego pręta
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy
siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie
równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie
F = √(Fx² + Fy²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa
Fin·a = Fout·b
Przegub kolanowy
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Metoda
Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.
Siła tnąca i moment zginający
Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8
Metoda
Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.
Środek ciężkości i moment bezwładności
Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Zadania do ćwiczenia
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni
Znajdź rzut skalarny compb a wektora a = (6, −4, 2) na b = (3, −1, −5), czyli składową a w kierunku b.
a = (6, −4, 2)b = (3, −1, −5)
compb a =
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny
Siła F = (−20, 20, −10) N działa w punkcie A(1, 4, 4). Współrzędne podano w metrach. Znajdź składową y, czyli My, momentu tej siły względem początek układu O(0, 0, 0).
F = (−20, 20, −10) NA(1, 4, 4) mO(0, 0, 0) m
My = N·m
3.Reakcje podpór belekŚredni
Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P w odległości 4 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia MA w ścianie.
L = 8 mP = 10 kN w 4 mw = 8 kN/m od 0 do 8 m
MA = kN·m
4.Reakcje podpór belekTrudny
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RA.
L = 5 mP = 30 kN w 3,5 mw = 12 kN/m od 3 do 5 m
RA = kN
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.
B: 25 kN ↓C: 30 kN ↓F: 35 kN ↓G: 20 kN ↓
1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FBC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.
rozpiętość = 8 mwysokość = 3 mB jest 7 m od Aobciążenie pionowe = 50 kNobciążenie poziome = 5 kN ←
FBC = kN
7.Ramy i maszynyŚredni
Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 2 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 2 m, a poziomy ściąg DE jest 1 m nad podłożem. W punkcie C działa obciążenie 8 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.
P = 8 kNAB = 2 mwysokość C = 2 mwysokość DE = 1 m
C = kN
8.Ramy i maszynyTrudny
Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3,2 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 4 m i poziomym ściągiem DE 1,5 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 0,4 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 6 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.
P = 6 kNAB = 3,2 mwysokość C = 4 mwysokość DE = 1,5 modległość pozioma od A do K = 0,4 m
C = kN
9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1 m aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P1 między podporami i siłę skupioną P2 w C. Wyznacz siłę tnącą Vx tuż na lewo od podpory B. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
L = 5 mP1 = 50 kN w 2,5 mP2 = 30 kN w 5 mpodpory w x = 0 i x = 4 m
Vx = kN
10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 4,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
L = 5 mP = 15 kN w 1 mw = 4 kN/m od 0 do 5 mx = 4,5 m
Mx = kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 300 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 130 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 16 mm. Wyznacz jego moment bezwładności Ix względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.
b = 300 mmh = 130 mmt = 16 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 50 MPa przy rozciąganiu i 120 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy ujemny moment zginający Mallow, jaki może przenieść belka (podaj jego wartość bezwzględną).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Iloczyn skalarny
a·b = 6·3 + (−4)·(−1) + 2·(−5) = 12
Długość b
|b| = √(3² + (−1)² + (−5)²) = 5,916
Rzut skalarny
compb a = a·b/|b| = 12/5,916 = 2,028
Odpowiedź
compb a = 2,028
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: My = −70 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową RA i moment utwierdzenia MA. ΣFy = 0 daje RA, a momenty względem ściany dają MA = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.
Wypadkowa obciążenia ciągłego
W = 8·8 = 64 kN, x̄ = 4 m
Moment względem ściany
MA = P·a + W·x̄ = 10·4 + 64·4 = 296 kN·m
Odpowiedź
MA = 296 kN·m
4.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RA = 13,8 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.
Schemat sił
Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·5 = 30·3,5 + 12·2·4
RB = 201/5 = 40,2 kN
ΣFy = 0: RA = 54 − 40,2 = 13,8 kN
Odpowiedź
RA = 13,8 kN
5.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: pręt DH
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
Węzeł D
CD i DE leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Sprawdź metodą węzłów
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.
Reakcje podpór
Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
ΣMA = 0: Cy·8 = 50·7 − 5·3 → Cy = 41,88 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 41,88 = 8,125 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN
Węzeł C
Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.
sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Siła w ściągu z nogi BC
By = 4 kN
T = 4·1/1 = 4 kN
Składowe siły w przegubie na BC
Cx = T = 4 kN, Cy = −By = −4 kN
Długość
C = √(4² + 4²) = 5,657 kN
Odpowiedź
C = 5,657 kN
8.Ramy i maszyny
Odpowiedź: C = 0,8904 kN
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Reakcja podpory w B
By = 6·0,4/3,2 = 0,75 kN
Siła w ściągu
T = 0,75·1,6/2,5 = 0,48 kN
Siła w przegubie na BC
Cx = 0,48 kN, Cy = −0,75 kN
C = √(0,48² + 0,75²) = 0,8904 kN
Odpowiedź
C = 0,8904 kN
9.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Vx = −38,75 kN
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki. Siła na wsporniku też daje moment względem A.
ΣMA = 0: RB·4 = 50·2,5 + 30·5
RB = 275/4 = 68,75 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 68,75 = 11,25 kN
Przekrój tuż na lewo od B, zostaw lewą część
Vx = RA − P1 = 11,25 − 50 = −38,75 kN
Odpowiedź
Vx = −38,75 kN
10.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mx = 6 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 15·1 + 4·5·2,5
RB = 65/5 = 13 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 13 = 22 kN
Przetnij w x = 4,5 m i zostaw lewą część
Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.
M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 22·4,5 − 15·(4,5 − 1) − 4·4,5·2,25 = 6 kN·m
Odpowiedź
Mx = 6 kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładności
Odpowiedź: Ix = 12,81 × 10⁶ mm⁴
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.
Podziel na prostokąty
Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.
baza: A1 = 300·16 = 4800 mm², y1 = 8 mm
dwa ramiona: A2 = 2·16·114 = 3648 mm², y2 = 16 + 114/2 = 73 mm
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.