Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź iloczyn skalarny a·b wektorów a = (2, −6, −6) i b = (1, −6, −7).

a = (2, −6, −6)b = (1, −6, −7)

a·b =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Siła F = (−40, −10, −60) N działa w punkcie A(−3, 1, −1). Współrzędne podano w metrach. Znajdź składową z, czyli M_z, momentu tej siły względem punkt O(0, −1, −1).

F = (−40, −10, −60) NA(−3, 1, −1) mO(0, −1, −1) m

M_z = N·m

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 6 mP₁ = 20 kN w 2,5 mP₂ = 15 kN w 4 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 2 m od A działa siła P nachylona pod kątem 30° do poziomu, a w odległości 3 m od A pionowa siła Q. Wyznacz wartość całkowitej siły reakcji R_A w podporze nieprzesuwnej A.

L = 4 mP = 55 kN w 2 m, θ = 30°Q = 35 kN w 3 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 25 kN ↓D: 30 kN ↓H: 25 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 4 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 10 kNobciążenie poziome = 25 kN ←

F_AC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 5 m, a B leży 3 m nad podłożem i 0,75 m na prawo od A. Na pręt AB w punkcie K, w odległości 0,3 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 10 kN. Wyznacz siłę F_BC w pręcie BC.

P = 10 kNL = 5 mH = 3 modległość pozioma od A do B = 0,75 modległość pozioma od A do K = 0,3 m

F_BC = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3,2 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 4,5 m i poziomym ściągiem DE 1,5 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 1,2 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 20 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.

P = 20 kNAB = 3,2 mwysokość C = 4,5 mwysokość DE = 1,5 modległość pozioma od A do K = 1,2 m

C = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz siłę tnącą V_x w przekroju x = 4,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mw = 5 kN/m od 0 do 5 mx = 4,5 m

V_x = kN

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 4 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mP = 45 kN w 4 mw = 3 kN/m od 0 do 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 50 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 160 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mmM = 50 kN·m

σ_góra = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: a·b = 80

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Pomnóż odpowiadające sobie składowe i dodaj

a·b = 2·1 + (−6)·(−6) + (−6)·(−7) = 2 + 36 + 42 = 80

Odpowiedź

a·b = 80

Dodatni: kąt między wektorami jest mniejszy niż 90°.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: M_z = 110 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Wektor położenia od O do A

r = A − O = (−3, 1, −1) − (0, −1, −1) = (−3, 2, 0) m

Moment M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 2·(−60) − 0·(−10) = −120 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 0·(−40) − (−3)·(−60) = −180 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−3)·(−10) − 2·(−40) = 110 N·m

Żądana składowa

M_z = 110 N·m

Odpowiedź

M_z = 110 N·m

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 18,33 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·2,5 + 15·4

R_B = 110/6 = 18,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 18,33 = 16,67 kN

Odpowiedź

R_B = 18,33 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 52,68 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Składowe P

P_v = 55·sin 30° = 27,5 kN

P_h = 55·cos 30° = 47,63 kN

Reakcje

ΣM_A = 0: R_B·4 = 27,5·2 + 35·3 → R_B = 40 kN

A_y = 27,5 + 35 − 40 = 22,5 kN

A_x = P_h = 47,63 kN

Wypadkowa w A

R_A = √(47,63² + 22,5²) = 52,68 kN

Odpowiedź

R_A = 52,68 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 43,33 kN (T), BC: 53,33 kN (T), CD: 53,33 kN (T), DE: 63,33 kN (T), FG: 43,33 kN (C), GH: 63,33 kN (C), AF: 54,17 kN (C), HE: 79,17 kN (C), BF: 32,5 kN (T), CG: 0, DH: 22,5 kN (T), BG: 12,5 kN (C), DG: 12,5 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = −7 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·3 − 25·4 → C_y = −14 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −14 = 24 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−14/0,8944 = 15,65 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(15,65)·0,4472 = −7 kN

Odpowiedź

F_AC = −7 kN (ściskanie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_BC = 1,04 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Pręt dwusiłowy BC

BC = √(4,25² + 3²) = 5,202 m

Cała rama: momenty względem A

Podłoże naciska na BC w C wzdłuż CB; jego składowa pozioma przechodzi przez A, moment ma tylko składowa pionowa.

F_BC·(3/5,202)·5 = 10·0,3

F_BC = 1,04 kN (ściskanie)

Odpowiedź

F_BC = 1,04 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: C = 8,5 kN

Reakcja podpory w B

B_y = 20·1,2/3,2 = 7,5 kN

Siła w ściągu

T = 7,5·1,6/3 = 4 kN

Siła w przegubie na BC

C_x = 4 kN, C_y = −7,5 kN

C = √(4² + 7,5²) = 8,5 kN

Odpowiedź

C = 8,5 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = −10 kN

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2,5

R_B = 62,5/5 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12,5 = 12,5 kN

Przetnij w x = 4,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = R_A − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)

V_x = 12,5 − 5·4,5 = −10 kN

Odpowiedź

V_x = −10 kN

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 144 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·4 + 3·10·5

R_B = 330/10 = 33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 33 = 42 kN

Przetnij w x = 4 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 42·4 − 3·4·2 = 144 kN·m

Odpowiedź

M_x = 144 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 42,65 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

środnik: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·272,5 + 2080·130)/7580 = 233,4 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 220·25³/12 + 5500·(272,5 − 233,4)² = 8,696 × 10⁶ mm⁴

środnik: 8·260³/12 + 2080·(130 − 233,4)² = 3,395 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,696 × 10⁶ + 3,395 × 10⁷ = 4,265 × 10⁷ mm⁴ = 42,65 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 42,65 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 63,53 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 160·25 = 4000 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292,5 mm

środnik: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·292,5 + 3360·140)/7360 = 222,9 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 160·25³/12 + 4000·(292,5 − 222,9)² = 1,96 × 10⁷ mm⁴

środnik: 12·280³/12 + 3360·(140 − 222,9)² = 4,503 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,96 × 10⁷ + 4,503 × 10⁷ = 6,463 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 305 − 222,9 = 82,12 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·82,12/6,463 × 10⁷ = 63,53 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 63,53 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics