Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź wartość k, dla której wektory a = (−5, −2, 2) i b = (k, −4, −2) są prostopadłe.

a = (−5, −2, 2)b = (k, −4, −2)

k =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Dla a = (3, 1, 6) i b = (5, −2, 2) znajdź składową x, czyli (a × b)_x, iloczynu wektorowego a × b.

a = (3, 1, 6)b = (5, −2, 2)

(a × b)_x =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, rosnące od zera w A do 8 kN/m w B. W odległości 2 m od A działa też siła skupiona P. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 4 mw₀ = 8 kN/mP = 10 kN w 2 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 6 mP = 15 kN w 1 mw = 12 kN/m od 0 do 1 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 2 mB jest 2 m od Aobciążenie pionowe = 25 kN

F_BC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 25 kN ↓C: 35 kN ↓F: 35 kN ↓F: 15 kN →G: 30 kN ↓H: 20 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 6 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 3 m i poziomym ściągiem DE 1,2 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 1,8 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 5 kN. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 5 kNAB = 6 mwysokość C = 3 mwysokość DE = 1,2 modległość pozioma od A do K = 1,8 m

T = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 8 m, a B leży 2,5 m wysoko i 3,6 m na prawo od A. Pręt AB niesie pionowe obciążenie 6 kN w punkcie K, w odległości 2,16 m (w poziomie) od A, oraz poziome obciążenie 8 kN skierowane w prawo, działające w B na pręt AB. Wyznacz wartość poziomej reakcji A_x w A.

P = 6 kNQ = 8 kNL = 8 mH = 2,5 modległość pozioma od A do B = 3,6 modległość pozioma od A do K = 2,16 m

A_x = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mw = 2 kN/m od 0 do 6 mx = 3 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 2,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mP = 35 kN w 2,5 mw = 3 kN/m od 0 do 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 150 mm × 150 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 30 mm i wysokości 50 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 60 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 150 mmh = 150 mmwycięcie: 30 × 50 mmśrodek otworu: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: k = 0,8

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Iloczyn skalarny równa się zero

a·b = (−5)·k + (−2)·(−4) + 2·(−2) = 0

4 + (−5)·k = 0

Wyznacz k

k = −4/(−5) = 0,8

Odpowiedź

k = 0,8

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: (a × b)_x = 14

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Iloczyn wektorowy, składowa po składowej

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·2 − 6·(−2) = 14

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 6·5 − 3·2 = 24

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·(−2) − 1·5 = −11

Żądana składowa

(a × b)_x = 14

Odpowiedź

(a × b)_x = 14

Sprawdzenie: a × b jest prostopadły do obu wektorów, więc jego iloczyn skalarny z a i z b jest równy zero.

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 15,67 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·8·4 = 16 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 16·2,667 + 10·2

R_B = 15,67 kN

R_A = 26 − 15,67 = 10,33 kN

Odpowiedź

R_B = 15,67 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 23,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 0,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·1 + 12·1·0,5

R_B = 21/6 = 3,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 27 − 3,5 = 23,5 kN

Odpowiedź

R_A = 23,5 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −19,76 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·2 → C_y = 6,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 6,25 = 18,75 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/6,325 = 0,3162, cos γ = 6/6,325 = 0,9487

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6,25/0,3162 = −19,76 kN

Odpowiedź

F_BC = −19,76 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt DH

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł D

CD i DE leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 93,75 kN (T), BC: 93,75 kN (T), CD: 66,25 kN (T), DE: 66,25 kN (T), FG: 112,5 kN (C), GH: 112,5 kN (C), AF: 111,4 kN (C), HE: 93,69 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 26,52 kN (T), HC: 65,41 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: DH

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 2,5 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Cała rama: momenty względem A

B_y = 5·1,8/6 = 1,5 kN

Noga BC: momenty względem C

1,5·3 = T·1,8

T = 2,5 kN

Odpowiedź

T = 2,5 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A_x = 0,7488 kN

Kierunek BC

BC = 5,061 m, cos = 0,8695, sin = 0,494

Cała rama: momenty względem A

F_BC·0,494·8 = 6·2,16 + 8·2,5

F_BC = 8,34 kN

Bilans poziomy

A_x + 8 − 8,34·0,8695 = 0

A_x = −0,7488 kN → |A_x| = 0,7488 kN

Odpowiedź

A_x = 0,7488 kN

Znak minus oznacza, że A_x jest skierowane w lewo.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 9 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·6·3

R_B = 36/6 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 6·3 − 2·3·1,5 = 9 kN·m

Odpowiedź

M_x = 9 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 38,44 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·2,5 + 3·4·2

R_B = 111,5/4 = 27,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 47 − 27,88 = 19,13 kN

Przetnij w x = 2,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 19,13·2,5 − 3·2,5·1,25 = 38,44 kN·m

Odpowiedź

M_x = 38,44 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 31,84 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

środnik: A_w = 14·220 = 3080 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·225 + 3080·110)/5880 = 164,8 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 280·10³/12 + 2800·(225 − 164,8)² = 1,018 × 10⁷ mm⁴

środnik: 14·220³/12 + 3080·(110 − 164,8)² = 2,166 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,018 × 10⁷ + 2,166 × 10⁷ = 3,184 × 10⁷ mm⁴ = 31,84 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 31,84 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 41,51 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (22500·75 − 1500·60)/(22500 − 1500) = 76,07 mm

Pełna płyta względem ȳ

150·150³/12 + 22500·−1,071² = 42,21 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

30·50³/12 + 1500·−16,07² = 0,6999 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 41,51 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 41,51 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics