Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź rzut skalarny comp_b a wektora a = (−5, −2, −6) na b = (5, −1, 3), czyli składową a w kierunku b.

a = (−5, −2, −6)b = (5, −1, 3)

comp_b a =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Siła F = (−20, −10, −50) N działa w punkcie A(1, −1, −2). Współrzędne podano w metrach. Znajdź składową z, czyli M_z, momentu tej siły względem punkt O(1, 2, 3).

F = (−20, −10, −50) NA(1, −1, −2) mO(1, 2, 3) m

M_z = N·m

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Przenosi siłę skupioną P w odległości 1,5 m od A i moment skupiony M działający przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, przyłożony w odległości 2 m od A. Wyznacz reakcję pionową R_B, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

L = 4 mP = 10 kN w 1,5 mM = 20 kN·m (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) w 2 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 10 mP = 25 kN w 7 mw = 12 kN/m od 1 do 8 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 4 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 30 kN

F_AB = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 2 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 45 kNobciążenie poziome = 10 kN ←

F_AC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 2 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 3,6 m, a poziomy ściąg DE jest 0,8 m nad podłożem. W punkcie C działa obciążenie 20 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.

P = 20 kNAB = 2 mwysokość C = 3,6 mwysokość DE = 0,8 m

C = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 6 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 2 m i są połączone poziomym ściągiem DE na wysokości 0,8 m. W punkcie C działa pozioma siła 10 kN skierowana w prawo. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 10 kNAB = 6 mwysokość C = 2 mwysokość DE = 0,8 m

T = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mw = 5 kN/m od 0 do 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP = 10 kN w 3,5 mw = 8 kN/m od 0 do 6 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 120 mm × 300 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 50 mm i wysokości 20 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 105 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 120 mmh = 300 mmwycięcie: 50 × 20 mmśrodek otworu: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: comp_b a = −6,93

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = (−5)·5 + (−2)·(−1) + (−6)·3 = −41

Długość b

|b| = √(5² + (−1)² + 3²) = 5,916

Rzut skalarny

comp_b a = a·b/|b| = −41/5,916 = −6,93

Odpowiedź

comp_b a = −6,93

Ujemny: a ma składową skierowaną przeciwnie do b.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: M_z = −60 N·m

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Wektor położenia od O do A

r = A − O = (1, −1, −2) − (1, 2, 3) = (0, −3, −5) m

Moment M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−3)·(−50) − (−5)·(−10) = 100 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−5)·(−20) − 0·(−50) = 100 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 0·(−10) − (−3)·(−20) = −60 N·m

Żądana składowa

M_z = −60 N·m

Odpowiedź

M_z = −60 N·m

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = −1,25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 10·1,5 + 20 = 0

R_B = −5/4 = −1,25 kN

Równowaga sił pionowych

R_A = 10 − (−1,25) = 11,25 kN

Odpowiedź

R_B = −1,25 kN

Ujemna reakcja działa w dół.

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 53,7 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·7 = 84 kN, przyłożona w x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·7 + 12·7·4,5

R_B = 553/10 = 55,3 kN

ΣF_y = 0: R_A = 109 − 55,3 = 53,7 kN

Odpowiedź

R_A = 53,7 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −8,485 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·4 → C_y = 24 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 24 = 6 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6/0,7071 = −8,485 kN

Odpowiedź

F_AB = −8,485 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 26,67 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·4 − 10·2 → C_y = 26,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 26,67 = 18,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26,67/0,7071 = −37,71 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−37,71)·0,7071 = 26,67 kN

Odpowiedź

F_AC = 26,67 kN (rozciąganie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: C = 10,62 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Siła w ściągu z nogi BC

B_y = 10 kN

T = 10·1/2,8 = 3,571 kN

Składowe siły w przegubie na BC

C_x = T = 3,571 kN, C_y = −B_y = −10 kN

Długość

C = √(3,571² + 10²) = 10,62 kN

Odpowiedź

C = 10,62 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 8,333 kN

Cała rama: momenty względem A

B_y·6 = 10·2

B_y = 3,333 kN

Noga BC: momenty względem C

3,333·3 = T·1,2

T = 8,333 kN

Odpowiedź

T = 8,333 kN

Dodatnie T oznacza, że ściąg jest rozciągany, tak jak założono.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 13,13 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2,5

R_B = 62,5/5 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12,5 = 12,5 kN

Przetnij w x = 1,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 12,5·1,5 − 5·1,5·0,75 = 13,13 kN·m

Odpowiedź

M_x = 13,13 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 49,58 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·3,5 + 8·6·3

R_B = 179/6 = 29,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 29,83 = 28,17 kN

Przetnij w x = 3,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 28,17·3,5 − 8·3,5·1,75 = 49,58 kN·m

Odpowiedź

M_x = 49,58 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 35,2 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

środnik: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·265 + 3120·130)/4520 = 171,8 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 140·10³/12 + 1400·(265 − 171,8)² = 1,217 × 10⁷ mm⁴

środnik: 12·260³/12 + 3120·(130 − 171,8)² = 2,303 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,217 × 10⁷ + 2,303 × 10⁷ = 3,52 × 10⁷ mm⁴ = 35,2 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 35,2 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 267,9 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (36000·150 − 1000·105)/(36000 − 1000) = 151,3 mm

Pełna płyta względem ȳ

120·300³/12 + 36000·−1,286² = 270,1 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

50·20³/12 + 1000·−46,29² = 2,176 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 267,9 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 267,9 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics