Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź kąt θ między wektorami a = (−4, 0, −6) i b = (−2, 5, 1), w stopniach.

a = (−4, 0, −6)b = (−2, 5, 1)

θ = °

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź objętość V równoległościanu, którego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka to a = (4, −1, 4), b = (1, −3, 4) i c = (−3, 2, 2).

a = (4, −1, 4)b = (1, −3, 4)c = (−3, 2, 2)

V =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 6 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową R_A, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 6 mAC = 10 mP₁ = 80 kN w 1 mP₂ = 30 kN w 10 m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 3,5 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P w odległości 0,5 m od A oraz obciążenie równomiernie rozłożone w od 3,5 m do swobodnego końca w 5 m. Wyznacz reakcję pionową R_B, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 3,5 mAC = 5 mP = 45 kN w 0,5 mw = 4 kN/m od 3,5 do 5 m

R_B = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 3 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 55 kN

F_AB = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 2 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 40 kNobciążenie poziome = 30 kN ←

F_AC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

W pokazanym zacisku z przegubem kolanowym dwa jednakowe ogniwa AB i BC są połączone przegubem w B, a każde tworzy kąt 8° z prostą AC. W punkcie B przyłożono siłę 400 N skierowaną w dół. Suwak C naciska na obrabiany element. Pomijając tarcie i ciężary, wyznacz poziomą siłę docisku Q.

F = 400 Nθ = 8°

Q = N

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 6 m, a B leży 3 m wysoko i 2,7 m na prawo od A. Pręt AB niesie pionowe obciążenie 20 kN w punkcie K, w odległości 1,08 m (w poziomie) od A, oraz poziome obciążenie 4 kN skierowane w prawo, działające w B na pręt AB. Wyznacz wartość poziomej reakcji A_x w A.

P = 20 kNQ = 4 kNL = 6 mH = 3 modległość pozioma od A do B = 2,7 modległość pozioma od A do K = 1,08 m

A_x = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 5,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mw = 8 kN/m od 0 do 10 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone na części rozpiętości. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 10 mw = 12 kN/m od 0 do 7 m

M_max = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 120 mm × 240 mm ma okrągły otwór o średnicy 50 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 168 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 120 mmh = 240 mmd = 50 mmśrodek otworu: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 100 mm × 300 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 50 mm i wysokości 50 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 195 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 100 mmh = 300 mmwycięcie: 50 × 50 mmśrodek otworu: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: θ = 87,1 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = (−4)·(−2) + 0·5 + (−6)·1 = 2

Długości

|a| = √((−4)² + 0² + (−6)²) = 7,211

|b| = √((−2)² + 5² + 1²) = 5,477

Kąt

cos θ = 2/(7,211·5,477) = 0,05064

θ = arccos(0,05064) = 87,1°

Odpowiedź

θ = 87,1°

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: V = 70

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Iloczyn wektorowy b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−3)·2 − 4·2 = −14

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 4·(−3) − 1·2 = −14

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 1·2 − (−3)·(−3) = −7

Iloczyn skalarny z a

a·(b × c) = 4·(−14) + (−1)·(−14) + 4·(−7) = −70

V = |−70| = 70

Odpowiedź

V = 70

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 46,67 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 80·1 + 30·10

R_B = 380/6 = 63,33 kN

Równowaga sił pionowych

R_A = 80 + 30 − 63,33 = 46,67 kN

Odpowiedź

R_A = 46,67 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 13,71 kN

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 4·1,5 = 6 kN, x̄ = (3,5 + 5)/2 = 4,25 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·3,5 = 45·0,5 + 6·4,25

R_B = 48/3,5 = 13,71 kN

R_A = 51 − 13,71 = 37,29 kN

Odpowiedź

R_B = 13,71 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −48,31 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·1 → C_y = 9,167 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 9,167 = 45,83 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −45,83/0,9487 = −48,31 kN

Odpowiedź

F_AB = −48,31 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = −7,5 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 40·1 − 30·2 → C_y = −5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − −5 = 45 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−5/0,5547 = 9,014 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(9,014)·0,8321 = −7,5 kN

Odpowiedź

F_AC = −7,5 kN (ściskanie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: Q = 1423 N

Maszyny: szczypce, dźwignie, mechanizmy dźwigniowe i zaciski zamieniają siłę wejściową na większą lub inaczej skierowaną siłę wyjściową. Narysuj jedną część jako ciało swobodne i zapisz momenty względem jej osi obrotu: siła w sworzniu odpada, a F_in·a = F_out·b daje przełożenie sił a/b. Siłę w sworzniu wyznaczysz potem z ΣF = 0 dla tej samej części. W przegubie kolanowym dwa ogniwa spotykają się pod płytkim kątem θ; każde ogniwo jest prętem dwusiłowym, więc mała siła F w przegubie wywołuje duże siły w ogniwach F/(2 sin θ) i siłę docisku F/(2 tan θ).

Równowaga przegubu B

2·F_link·sin 8° = 400

F_link = 1437 N

Siła docisku

Q = F_link·cos 8° = 400/(2·tan 8°) = 1423 N

Odpowiedź

Q = 1423 N

Stosunek sił Q/F = 3,558 rośnie bez ograniczeń, gdy ogniwa się prostują.

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A_x = 2,16 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Kierunek BC

BC = 4,46 m, cos = 0,7399, sin = 0,6727

Cała rama: momenty względem A

F_BC·0,6727·6 = 20·1,08 + 4·3

F_BC = 8,325 kN

Bilans poziomy

A_x + 4 − 8,325·0,7399 = 0

A_x = 2,16 kN → |A_x| = 2,16 kN

Odpowiedź

A_x = 2,16 kN

A_x jest skierowane w prawo.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 99 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Przetnij w x = 5,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 40·5,5 − 8·5,5·2,75 = 99 kN·m

Odpowiedź

M_x = 99 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 124,2 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·7 = 84 kN, przyłożona w x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·7·3,5

R_B = 294/10 = 29,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 29,4 = 54,6 kN

Zerowa siła tnąca

Siła tnąca zaczyna od R_A, jest stała na każdym nieobciążonym odcinku i maleje z nachyleniem w wewnątrz obciążenia.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 54,6/12 = 4,55 m

Moment maksymalny

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 54,6·4,55 − 12·4,55²/2 = 124,2 kN·m

Odpowiedź

M_max = 124,2 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 133,1 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (28800·120 − 1963·168)/(28800 − 1963) = 116,5 mm

Pełna płyta względem ȳ

120·240³/12 + 28800·3,512² = 138,6 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·50⁴/64 + 1963·51,51² = 5,517 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 133,1 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 133,1 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 219 × 10⁶ mm⁴

Środek ciężkości

ȳ = (30000·150 − 2500·195)/(30000 − 2500) = 145,9 mm

Pełna płyta względem ȳ

100·300³/12 + 30000·4,091² = 225,5 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

50·50³/12 + 2500·49,09² = 6,546 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 219 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 219 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics