Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź rzut skalarny comp_b a wektora a = (4, 4, −6) na b = (−3, 4, −5), czyli składową a w kierunku b.

a = (4, 4, −6)b = (−3, 4, −5)

comp_b a =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Dla a = (−6, 2, 0) i b = (−1, 6, 5) znajdź składową z, czyli (a × b)_z, iloczynu wektorowego a × b.

a = (−6, 2, 0)b = (−1, 6, 5)

(a × b)_z =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, malejące od 4 kN/m w A do zera w B. W odległości 3,5 m od A działa też siła skupiona P. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 4 mw₀ = 4 kN/mP = 60 kN w 3,5 m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 2,5 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P w odległości 0,5 m od A oraz obciążenie równomiernie rozłożone w od 1,5 m do swobodnego końca w 4 m. Wyznacz reakcję pionową R_A, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 2,5 mAC = 4 mP = 30 kN w 0,5 mw = 12 kN/m od 1,5 do 4 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 3 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 60 kN

F_AC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 20 kN ↓C: 25 kN ↓D: 30 kN ↓F: 35 kN →H: 25 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana dźwignia kątowa obraca się wokół sworznia O. Pionowa siła 100 N w punkcie A (300 mm od O) jest równoważona poziomą siłą w punkcie B (100 mm nad O). Wyznacz wartość reakcji w sworzniu F_O.

F = 100 NOA = 300 mmOB = 100 mm

F_O = N

8.Ramy i maszynyTrudny

Prasa z przegubem kolanowym ma dwa jednakowe ogniwa AB i BC, każde o długości 200 mm między przegubami. Przegub B leży 5 mm nad prostą AC. Jaka siła F skierowana w dół w punkcie B daje poziomą siłę nacisku 5000 N na suwaku C? Pomiń tarcie i ciężary.

Q = 5000 NAB = BC = 200 mmh = 5 mm

F = N

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

25 kN @ 5 m45 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

45 kN @ 12 m55 kN @ 6 m10 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 25 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mmM = 25 kN·m

σ_dół = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: comp_b a = 4,808

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = 4·(−3) + 4·4 + (−6)·(−5) = 34

Długość b

|b| = √((−3)² + 4² + (−5)²) = 7,071

Rzut skalarny

comp_b a = a·b/|b| = 34/7,071 = 4,808

Odpowiedź

comp_b a = 4,808

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: (a × b)_z = −34

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Iloczyn wektorowy, składowa po składowej

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·5 − 0·6 = 10

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·(−1) − (−6)·5 = 30

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−6)·6 − 2·(−1) = −34

Żądana składowa

(a × b)_z = −34

Odpowiedź

(a × b)_z = −34

Sprawdzenie: a × b jest prostopadły do obu wektorów, więc jego iloczyn skalarny z a i z b jest równy zero.

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 12,83 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·4·4 = 8 kN

x̄ = L/3 = 1,333 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·1,333 + 60·3,5

R_B = 55,17 kN

R_A = 68 − 55,17 = 12,83 kN

Odpowiedź

R_A = 12,83 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 21 kN

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 12·2,5 = 30 kN, x̄ = (1,5 + 4)/2 = 2,75 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·2,5 = 30·0,5 + 30·2,75

R_B = 97,5/2,5 = 39 kN

R_A = 60 − 39 = 21 kN

Odpowiedź

R_A = 21 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 16 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·4 → C_y = 48 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 48 = 12 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −48/0,9487 = −50,6 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−50,6)·0,3162 = 16 kN

Odpowiedź

F_AC = 16 kN (rozciąganie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł G

FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 57,19 kN (T), BC: 57,19 kN (T), CD: 52,81 kN (T), DE: 52,81 kN (T), FG: 64,38 kN (C), GH: 64,38 kN (C), AF: 36,98 kN (C), HE: 88,02 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), FC: 11,98 kN (T), HC: 19,27 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_O = 316,2 N

Maszyny: szczypce, dźwignie, mechanizmy dźwigniowe i zaciski zamieniają siłę wejściową na większą lub inaczej skierowaną siłę wyjściową. Narysuj jedną część jako ciało swobodne i zapisz momenty względem jej osi obrotu: siła w sworzniu odpada, a F_in·a = F_out·b daje przełożenie sił a/b. Siłę w sworzniu wyznaczysz potem z ΣF = 0 dla tej samej części. W przegubie kolanowym dwa ogniwa spotykają się pod płytkim kątem θ; każde ogniwo jest prętem dwusiłowym, więc mała siła F w przegubie wywołuje duże siły w ogniwach F/(2 sin θ) i siłę docisku F/(2 tan θ).

Siła w B

Q = 100·300/100 = 300 N

Reakcja w sworzniu

O_x = 300 N, O_y = 100 N

F_O = √(300² + 100²) = 316,2 N

Odpowiedź

F_O = 316,2 N

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F = 250,1 N

Kąt ogniwa

sin θ = 5/200 = 0,025, θ = 1,433°

Siła w ogniwie

F_link = Q/cos θ = 5002 N

Siła w B

F = 2·F_link·sin θ = 2·5000·tan θ = 250,1 N

Odpowiedź

F = 250,1 N

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 4 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 19,17 kN, R₂ = 50,83 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 19,17, M_C = 38,33, M_D = 57,5, M_E = 76,67 kN·m, M_F = 50,83, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = 76,67 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 6 m)

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 63 kN, R₂ = 137 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 106, M_C = 172, M_D = 198 kN·m, M_E = 74, M_F = −90, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 198 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 12,27 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

środnik: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·165 + 2880·80)/4080 = 105 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 120·10³/12 + 1200·(165 − 105)² = 4,33 × 10⁶ mm⁴

środnik: 18·160³/12 + 2880·(80 − 105)² = 7,944 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,33 × 10⁶ + 7,944 × 10⁶ = 1,227 × 10⁷ mm⁴ = 12,27 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 12,27 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 90,24 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 160·15 = 2400 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

środnik: A_w = 18·240 = 4320 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·247,5 + 4320·120)/6720 = 165,5 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 160·15³/12 + 2400·(247,5 − 165,5)² = 1,617 × 10⁷ mm⁴

środnik: 18·240³/12 + 4320·(120 − 165,5)² = 2,969 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,617 × 10⁷ + 2,969 × 10⁷ = 4,586 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 165,5 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·165,5/4,586 × 10⁷ = 90,24 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 90,24 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics