Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź wartość k, dla której wektory a = (3, 1, 1) i b = (6, k, −2) są prostopadłe.

a = (3, 1, 1)b = (6, k, −2)

k =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Siła F = (40, 60, 60) N działa w punkcie A(−4, 1, 3). Współrzędne podano w metrach. Znajdź składową y, czyli M_y, momentu tej siły względem początek układu O(0, 0, 0).

F = (40, 60, 60) NA(−4, 1, 3) mO(0, 0, 0) m

M_y = N·m

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 5 mP₁ = 25 kN w 2 mP₂ = 50 kN w 3 m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 8 mP = 40 kN w 1 mw = 10 kN/m od 5 do 6 m

R_B = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

F: 15 kN ↓G: 30 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 40 kN ↓D: 20 kN ↓H: 30 kN ←

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 4 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 2,5 m i poziomym ściągiem DE 0,8 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 1 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 15 kN. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 15 kNAB = 4 mwysokość C = 2,5 mwysokość DE = 0,8 modległość pozioma od A do K = 1 m

T = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 4 m i są połączone poziomym ściągiem DE na wysokości 1 m. W punkcie C działa pozioma siła 20 kN skierowana w prawo. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 20 kNAB = 3 mwysokość C = 4 mwysokość DE = 1 m

T = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1 m aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P₁ między podporami i siłę skupioną P₂ w C. Wyznacz moment zginający M_x pod siłą P₁. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 9 mP₁ = 55 kN w 1 mP₂ = 50 kN w 9 mpodpory w x = 0 i x = 8 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP = 35 kN w 1 mw = 2 kN/m od 0 do 6 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Rura okrągła ma średnicę zewnętrzną D = 120 mm i średnicę wewnętrzną d = 88 mm. Wyznacz promień bezwładności r przekroju względem poziomej osi centralnej.

D = 120 mmd = 88 mm

r = mm

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 40 MPa przy rozciąganiu i 150 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy ujemny moment zginający M_allow, jaki może przenieść belka (podaj jego wartość bezwzględną).

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: k = −16

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Iloczyn skalarny równa się zero

a·b = 3·6 + 1·k + 1·(−2) = 0

16 + 1·k = 0

Wyznacz k

k = −16/1 = −16

Odpowiedź

k = −16

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: M_y = 360 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Wektor położenia od O do A

r = A − O = (−4, 1, 3) − (0, 0, 0) = (−4, 1, 3) m

Moment M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 1·60 − 3·60 = −120 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 3·40 − (−4)·60 = 360 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−4)·60 − 1·40 = −280 N·m

Żądana składowa

M_y = 360 N·m

Odpowiedź

M_y = 360 N·m

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 35 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·2 + 50·3

R_B = 200/5 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 40 = 35 kN

Odpowiedź

R_A = 35 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 11,88 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN, przyłożona w x̄ = 5,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·1 + 10·1·5,5

R_B = 95/8 = 11,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 11,88 = 38,13 kN

Odpowiedź

R_B = 11,88 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 35 kN (T), BC: 50 kN (T), CD: 50 kN (T), DE: 25 kN (T), FG: 35 kN (C), GH: 25 kN (C), AF: 43,75 kN (C), HE: 31,25 kN (C), BF: 11,25 kN (T), CG: 0, DH: 18,75 kN (T), BG: 18,75 kN (C), DG: 31,25 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Węzeł G

FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 12,5 kN (T), BC: 12,5 kN (T), CD: 17,5 kN (T), DE: 17,5 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 60,1 kN (C), HE: 24,75 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 3,536 kN (T), HC: 3,536 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 4,412 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Cała rama: momenty względem A

B_y = 15·1/4 = 3,75 kN

Noga BC: momenty względem C

3,75·2 = T·1,7

T = 4,412 kN

Odpowiedź

T = 4,412 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 13,33 kN

Cała rama: momenty względem A

B_y·3 = 20·4

B_y = 26,67 kN

Noga BC: momenty względem C

26,67·1,5 = T·3

T = 13,33 kN

Odpowiedź

T = 13,33 kN

Dodatnie T oznacza, że ściąg jest rozciągany, tak jak założono.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 41,88 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki. Siła na wsporniku też daje moment względem A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·1 + 50·9

R_B = 505/8 = 63,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 63,13 = 41,88 kN

Przekrój pod P₁, zostaw lewą część

M_x = R_A·1 = 41,88·1 = 41,88 kN·m

Odpowiedź

M_x = 41,88 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 34,17 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·1 + 2·6·3

R_B = 71/6 = 11,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 47 − 11,83 = 35,17 kN

Przetnij w x = 1 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 35,17·1 − 2·1·0,5 = 34,17 kN·m

Odpowiedź

M_x = 34,17 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: r = 37,2 mm

Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = I_c + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien. Promień bezwładności r = √(I/A) to odległość, w której całe pole dawałoby ten sam moment I; stosuje się go przy wyboczeniu słupów.

Pole netto i moment bezwładności netto

A = π(D² − d²)/4 = 5228 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 7,235 × 10⁶ mm⁴

Promień bezwładności

r = √(I/A) = √(7,235 × 10⁶/5228) = 37,2 mm

Odpowiedź

r = 37,2 mm

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: M_allow = 15,54 kN·m

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Środek ciężkości

ȳ = (3500·192,5 + 2160·90)/5660 = 153,4 mm

krawędź górna: c = 205 − 153,4 = 51,62 mm

Moment bezwładności przekroju

I = 140·25³/12 + 3500·39,12² + 12·180³/12 + 2160·63,38² = 2,005 × 10⁷ mm⁴

Moment dopuszczalny dla każdej krawędzi

Moment ujemny: góra jest rozciągana, dół ściskany.

krawędź górna: M = 40·2,005 × 10⁷/51,62 = 15,54 kN·m

krawędź dolna: M = 150·2,005 × 10⁷/153,4 = 19,61 kN·m

Wartość decydująca

M_allow = min = 15,54 kN·m (krawędź górna)

Odpowiedź

M_allow = 15,54 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics

Statyka: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Metoda

Reakcje podpór belek

Metoda

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda

Ramy i maszyny

Metoda

Siła tnąca i moment zginający

Metoda

Środek ciężkości i moment bezwładności

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Iloczyn skalarny równa się zero

Wyznacz k

Odpowiedź

Wektor położenia od O do A

Moment M = r × F

Żądana składowa

Odpowiedź

Schemat sił

Równowaga

Odpowiedź

Schemat sił

Równowaga

Odpowiedź

Węzeł C

Sprawdź metodą węzłów

Odpowiedź

Węzeł G

Sprawdź metodą węzłów

Odpowiedź

Cała rama: momenty względem A

Noga BC: momenty względem C

Odpowiedź

Cała rama: momenty względem A

Noga BC: momenty względem C

Odpowiedź

Reakcje podpór

Przekrój pod P1, zostaw lewą część

Odpowiedź

Reakcje podpór

Przetnij w x = 1 m i zostaw lewą część

Odpowiedź

Pole netto i moment bezwładności netto

Promień bezwładności

Odpowiedź

Środek ciężkości

Moment bezwładności przekroju

Moment dopuszczalny dla każdej krawędzi

Wartość decydująca

Odpowiedź

Przekrój pod P₁, zostaw lewą część