Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź iloczyn skalarny a·b wektorów a = (6, 6, −5) i b = (−7, −6, −3).

a = (6, 6, −5)b = (−7, −6, −3)

a·b =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź objętość V równoległościanu, którego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka to a = (5, −3, 1), b = (3, −2, 3) i c = (−4, 2, −1).

a = (5, −3, 1)b = (3, −2, 3)c = (−4, 2, −1)

V =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 10 mP₁ = 20 kN w 1 mP₂ = 10 kN w 6 m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 6 m od A działa siła P nachylona pod kątem 45° do poziomu, a w odległości 1 m od A pionowa siła Q. Wyznacz wartość całkowitej siły reakcji R_A w podporze nieprzesuwnej A.

L = 8 mP = 30 kN w 6 m, θ = 45°Q = 65 kN w 1 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 2 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 25 kN

F_AB = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 3 mB jest 2 m od Aobciążenie pionowe = 10 kNobciążenie poziome = 5 kN ←

F_AB = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 2 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 3 m i poziomym ściągiem DE 1,2 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 0,6 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 10 kN. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 10 kNAB = 2 mwysokość C = 3 mwysokość DE = 1,2 modległość pozioma od A do K = 0,6 m

T = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 4 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 2 m i są połączone poziomym ściągiem DE na wysokości 1,2 m. W punkcie C działa pozioma siła 6 kN skierowana w prawo. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 6 kNAB = 4 mwysokość C = 2 mwysokość DE = 1,2 m

T = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 10 mP₁ = 65 kN w 5 mP₂ = 45 kN w 8 m

M_max = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 2 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 60 kN w 3,5 mw = 2 kN/m od 0 do 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 150 mm × 240 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 30 mm i wysokości 40 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 84 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 150 mmh = 240 mmwycięcie: 30 × 40 mmśrodek otworu: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: a·b = −63

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Pomnóż odpowiadające sobie składowe i dodaj

a·b = 6·(−7) + 6·(−6) + (−5)·(−3) = (−42) + (−36) + 15 = −63

Odpowiedź

a·b = −63

Ujemny: kąt między wektorami jest większy niż 90°.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: V = 5

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Iloczyn wektorowy b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−2)·(−1) − 3·2 = −4

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 3·(−4) − 3·(−1) = −9

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 3·2 − (−2)·(−4) = −2

Iloczyn skalarny z a

a·(b × c) = 5·(−4) + (−3)·(−9) + 1·(−2) = 5

V = |5| = 5

Odpowiedź

V = 5

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 22 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·1 + 10·6

R_B = 80/10 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 8 = 22 kN

Odpowiedź

R_A = 22 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 65,7 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Składowe P

P_v = 30·sin 45° = 21,21 kN

P_h = 30·cos 45° = 21,21 kN

Reakcje

ΣM_A = 0: R_B·8 = 21,21·6 + 65·1 → R_B = 24,03 kN

A_y = 21,21 + 65 − 24,03 = 62,18 kN

A_x = P_h = 21,21 kN

Wypadkowa w A

R_A = √(21,21² + 62,18²) = 65,7 kN

Odpowiedź

R_A = 65,7 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −11,18 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·4 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 20 = 5 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −5/0,4472 = −11,18 kN

Odpowiedź

F_AB = −11,18 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −10,82 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·2 − 5·3 → C_y = 1 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 1 = 9 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −9/0,8321 = −10,82 kN

Odpowiedź

F_AB = −10,82 kN (ściskanie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 1,667 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Cała rama: momenty względem A

B_y = 10·0,6/2 = 3 kN

Noga BC: momenty względem C

3·1 = T·1,8

T = 1,667 kN

Odpowiedź

T = 1,667 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 7,5 kN

Cała rama: momenty względem A

B_y·4 = 6·2

B_y = 3 kN

Noga BC: momenty względem C

3·2 = T·0,8

T = 7,5 kN

Odpowiedź

T = 7,5 kN

Dodatnie T oznacza, że ściąg jest rozciągany, tak jak założono.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 207,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 65·5 + 45·8

R_B = 685/10 = 68,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 68,5 = 41,5 kN

Moment pod każdą siłą

Zostaw część na lewo od każdej siły.

pod P₁: M = R_A·5 = 41,5·5 = 207,5 kN·m

pod P₂: M = R_B·2 = 68,5·2 = 137 kN·m

Największa wartość

M_max = 207,5 kN·m (pod P₁)

Odpowiedź

M_max = 207,5 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 42 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·3,5 + 2·5·2,5

R_B = 235/5 = 47 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 47 = 23 kN

Przetnij w x = 2 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 23·2 − 2·2·1 = 42 kN·m

Odpowiedź

M_x = 42 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 4,026 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

środnik: A_w = 10·100 = 1000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·110 + 1000·50)/6200 = 100,3 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 260·20³/12 + 5200·(110 − 100,3)² = 660326 mm⁴

środnik: 10·100³/12 + 1000·(50 − 100,3)² = 3,366 × 10⁶ mm⁴

I_x = 660326 + 3,366 × 10⁶ = 4,026 × 10⁶ mm⁴ = 4,026 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 4,026 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 171 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (36000·120 − 1200·84)/(36000 − 1200) = 121,2 mm

Pełna płyta względem ȳ

150·240³/12 + 36000·−1,241² = 172,9 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

30·40³/12 + 1200·−37,24² = 1,824 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 171 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 171 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics