Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź wartość k, dla której wektory a = (−1, 5, −4) i b = (0, 4, k) są prostopadłe.

a = (−1, 5, −4)b = (0, 4, k)

k =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź objętość V równoległościanu, którego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka to a = (−3, 1, −4), b = (1, −1, 0) i c = (3, −1, −2).

a = (−3, 1, −4)b = (1, −1, 0)c = (3, −1, −2)

V =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 2,5 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową R_B, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 2,5 mAC = 4 mP₁ = 60 kN w 2 mP₂ = 55 kN w 4 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 8 mP = 40 kN w 7 mw = 12 kN/m od 1 do 5 m

R_B = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 4 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 15 kN

F_AB = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 2 mB jest 6 m od Aobciążenie pionowe = 40 kNobciążenie poziome = 30 kN →

F_BC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pozioma belka AB jest przegubowo zamocowana do ściany w A i podparta rozpórką CD, zamocowaną przegubowo do ściany w C, 1,2 m poniżej A. W punkcie B wisi obciążenie 2 kN. Pomiń ciężary. Wyznacz wartość siły A w przegubie działającej na belkę w A.

P = 2 kNAD = 1,6 mAB = 2,5 mAC = 1,2 m

A = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Jednorodny poziomy wysięgnik AB o ciężarze 3 kN jest zamocowany przegubowo do ściany w A i utrzymywany liną od końca B do punktu C na ścianie, 2 m nad A. W punkcie B wisi obciążenie 15 kN. Wyznacz siłę T w linie.

W = 15 kNW_b = 3 kNAB = 5 mAC = 2 m

T = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mw = 8 kN/m od 0 do 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 45 kN w 1,5 mw = 8 kN/m od 0 do 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 140 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 120 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 14 mm. Wyznacz wysokość ȳ środka ciężkości nad dolną krawędzią.

b = 140 mmh = 120 mmt = 14 mm

ȳ = mm

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 5 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 100 mmM = 5 kN·m

σ_góra = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: k = 5

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Iloczyn skalarny równa się zero

a·b = (−1)·0 + 5·4 + (−4)·k = 0

20 + (−4)·k = 0

Wyznacz k

k = −20/(−4) = 5

Odpowiedź

k = 5

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: V = 12

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Iloczyn wektorowy b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−1)·(−2) − 0·(−1) = 2

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 0·3 − 1·(−2) = 2

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 1·(−1) − (−1)·3 = 2

Iloczyn skalarny z a

a·(b × c) = (−3)·2 + 1·2 + (−4)·2 = −12

V = |−12| = 12

Odpowiedź

V = 12

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 136 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣM_A = 0: R_B·2,5 = 60·2 + 55·4

R_B = 340/2,5 = 136 kN

Równowaga sił pionowych

R_A = 60 + 55 − 136 = −21 kN

Odpowiedź

R_B = 136 kN

R_A jest ujemne: podpora w A musi przytrzymywać belkę.

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 53 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·7 + 12·4·3

R_B = 424/8 = 53 kN

ΣF_y = 0: R_A = 88 − 53 = 35 kN

Odpowiedź

R_B = 53 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −12,37 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·1 → C_y = 3 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 3 = 12 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −12/0,9701 = −12,37 kN

Odpowiedź

F_AB = −12,37 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −53,03 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·6 + 30·2 → C_y = 37,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 37,5 = 2,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −37,5/0,7071 = −53,03 kN

Odpowiedź

F_BC = −53,03 kN (ściskanie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A = 4,316 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Siła w rozpórce

F_CD = 2·2,5/(0,6·1,6) = 5,208 kN

Składowe w A

A_x = F_CD·cos α = 4,167 kN (w stronę ściany)

A_y = 2 − F_CD·sin α = −1,125 kN

Długość

A = √(4,167² + −1,125²) = 4,316 kN

Odpowiedź

A = 4,316 kN

Ujemne A_y oznacza, że ściana ciągnie belkę w dół w punkcie A.

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 44,43 kN

Kąt liny

BC = √(5² + 2²) = 5,385 m, sin β = 0,3714

Momenty względem A

T·0,3714·5 = 15·5 + 3·2,5

T = 44,43 kN

Odpowiedź

T = 44,43 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 24 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·5·2,5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 20·3 − 8·3·1,5 = 24 kN·m

Odpowiedź

M_x = 24 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 68,25 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·1,5 + 8·5·2,5

R_B = 167,5/5 = 33,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 33,5 = 51,5 kN

Przetnij w x = 1,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 51,5·1,5 − 8·1,5·0,75 = 68,25 kN·m

Odpowiedź

M_x = 68,25 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: ȳ = 43,14 mm

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 140·14 = 1960 mm², y₁ = 7 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·14·106 = 2968 mm², y₂ = 14 + 106/2 = 67 mm

Środek ciężkości

ȳ = (1960·7 + 2968·67)/4928 = 43,14 mm

Odpowiedź

ȳ = 43,14 mm

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 24,16 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

środnik: A_w = 18·100 = 1800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·115 + 1800·50)/6000 = 95,5 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 140·30³/12 + 4200·(115 − 95,5)² = 1,912 × 10⁶ mm⁴

środnik: 18·100³/12 + 1800·(50 − 95,5)² = 5,226 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,912 × 10⁶ + 5,226 × 10⁶ = 7,138 × 10⁶ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 130 − 95,5 = 34,5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·34,5/7,138 × 10⁶ = 24,16 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 24,16 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics