Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 35, 50, 48, 48, 45.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży powyżej 70?

μ = 60σ = 8x = 70

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = −2X + 1. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = −2X + 1

σ_Y =

5.Rozkład normalnyŚredni

Masy worków cementu są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 kg i odchyleniem standardowym 0,5 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 5 z nich przekroczy 124,4 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 5> 124,4 kg

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Masa X produktu z linii 1 i masa Y produktu z linii 2 są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 500 g i odchylenie standardowe 8 g, Y ma średnią 490 g i odchylenie standardowe 6 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.Przedziały ufnościŚredni

Przedział ufności 99 % dla średniej, oparty na 36 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 11,6. Jaki jest margines błędu E₂ przedziału 95 % z tych samych danych?

99%n₁ = 36E₁ = 11,695%

E₂ =

8.Przedziały ufnościTrudny

Z góry nic nie wiadomo o frakcji wadliwych produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 99 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,04?

p = 0,5E = 0,0499%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 64 studentów ma średni wynik 48,25 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,25s = 10n = 64

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 81 pomiarów ma średnią 50,4. Odchylenie standardowe populacji wynosi 10. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 99 % dla średniej.

x̄ = 50,4σ = 10n = 8199%

L =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 21Σy = 85Σx² = 91Σy² = 1397Σxy = 240

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 32?

n = 6ŷ = 32

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 5,975

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 226/5 = 45,2

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−10,2)² + 4,8² + 2,8² + 2,8² + (−0,2)² = 142,8

Odchylenie standardowe

s = √(142,8/4) = 5,975

Odpowiedź

s = 5,975

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,1056

Standaryzuj

z = 1,25

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Odpowiedź

P = 0,1056

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 0,8047

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Wariancja

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Odpowiedź

σ = 0,8047

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 1,673

Rozrzut X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Zmiana liniowa

σ_Y = |−2|·0,8367 = 1,673

Odpowiedź

σ_Y = 1,673

Średnia się przesuwa: E(Y) = −2·1 + 1 = −1.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7054

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 125 kg, σ_T = 0,5·√5 = 1,118 kg

Standaryzuj

z = (124,4 − 125)/1,118 = −0,54

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,54) = 0,7054

Odpowiedź

P = 0,7054

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8413

Rozkład różnicy

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standaryzuj

z = (0 − 10)/10 = −1

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Odpowiedź

P = 0,8413

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E₂ = 8,826

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Stosunek marginesów

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(36/36) = 0,7609

Nowy margines

E₂ = 11,6·0,7609 = 8,826

Odpowiedź

E₂ = 8,826

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1037

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Wyznacz n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,04² = 1037

Zaokrąglij w górę

n = 1037

Odpowiedź

n = 1037

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,4

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25

Statystyka testowa

t = (48,25 − 50)/1,25 = −1,4

Odpowiedź

t = −1,4

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 47,54

Margines błędu

E = 2,576·10/√81 = 2,862

Granica przedziału

L = 50,4 − 2,862 = 47,54

Odpowiedź

L = 47,54

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,9898

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 240 − 21·85/6 = −57,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 1397 − 85²/6 = 192,8

Współczynnik korelacji

r = −57,5/√(17,5·192,8) = −0,9898

Odpowiedź

r = −0,9898

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 15,44

Średnie

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 299/6 = 49,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 463,5

Prosta regresji

b = 463,5/157,5 = 2,943

a = 49,83 − 2,943·21,5 = −13,44

ŷ = −13,44 + 2,943·x

Wyznacz x

x = (32 − (−13,44))/2,943 = 15,44

Odpowiedź

x = 15,44

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1