Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 60, 50, 36, 19, 46, 12.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 100. Wyznacz wynik z z dla wyniku 350.

μ = 500σ = 100x = 350

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 2 osób z grupy 6 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 6k = 2

N =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 10 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,25, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?

n = 10p = 0,25k = 3

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Jaka część wartości leży między 488 a 582 h? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 500σ = 40x₁ = 488x₂ = 582

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 97,5% wszystkich wartości (97,5. percentyl).

μ = 500σ = 40P = 97,5%

x = h

7.Przedziały ufnościŚredni

Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 50 telefonów, średnia 62,5 h, znane odchylenie standardowe 17 h. Model 2: 30 telefonów, średnia 67 h, znane odchylenie standardowe 14 h. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 62,5 hσ₁ = 17 hn₂ = 30x̄₂ = 67 hσ₂ = 14 h95%

dolna granica = h

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 27. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5?

σ = 27E = 2,595%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 25 studentów ma średni wynik 101,9 i odchylenie standardowe z próby 8. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 101,9s = 8n = 25

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 81 pomiarów ma średnią 503,5. Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 99 % dla średniej.

x̄ = 503,5σ = 15n = 8199%

U =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 33Σy = 279Σx² = 199Σy² = 13147Σxy = 1587

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (3, 9). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(3, 9)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 18,59

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 223/6 = 37,17

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 22,83² + 12,83² + (−1,167)² + (−18,17)² + 8,833² + (−25,17)² = 1729

Odchylenie standardowe

s = √(1729/5) = 18,59

Odpowiedź

s = 18,59

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −1,5

Standaryzuj

z = (350 − 500)/100 = −1,5

Odpowiedź

z = −1,5

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 15

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15

Odpowiedź

N = 15

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2503

Wzór dwumianowy

P(X = 3) = 120·0,25³·0,75⁷ = 120·0,01563·0,1335 = 0,2503

Odpowiedź

P = 0,2503

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,5977

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (488 − 500)/40 = −0,3

z₂ = (582 − 500)/40 = 2,05

Pole pomiędzy

P = Φ(2,05) − Φ(−0,3) = 0,9798 − 0,3821 = 0,5977

Odpowiedź

P = 0,5977

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 578,4 h

z dla percentyla

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Powrót do x

x = 500 + 1,96·40 = 578,4 h

Odpowiedź

x = 578,4 h

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = −11,38 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estymator punktowy

x̄₁ − x̄₂ = 62,5 − 67 = −4,5

Błąd standardowy

SE = √(17²/50 + 14²/30) = 3,509

Margines błędu

E = 1,96·3,509 = 6,878

Przedział

−4,5 ± 6,878 → [−11,38, 2,378]

Odpowiedź

dolna granica = −11,38 h

Przedział zawiera 0, więc dane nie wykazują istotnej różnicy.

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 449

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,96·27/2,5)² = 448,1

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 449

Odpowiedź

n = 449

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,188

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6

Statystyka testowa

t = (101,9 − 100)/1,6 = 1,188

Odpowiedź

t = 1,188

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 507,8

Margines błędu

E = 2,576·15/√81 = 4,293

Granica przedziału

U = 503,5 + 4,293 = 507,8

Odpowiedź

U = 507,8

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9528

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 1587 − 33·279/6 = 52,5

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 13147 − 279²/6 = 173,5

Współczynnik korelacji

r = 52,5/√(17,5·173,5) = 0,9528

Odpowiedź

r = 0,9528

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 3,395

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 71/6 = 11,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 109

Prosta regresji

b = 109/70 = 1,557

a = 11,83 − 1,557·7 = 0,9333

ŷ = 0,9333 + 1,557·x

Wartość przewidywana

ŷ = 0,9333 + 1,557·3 = 5,605

Reszta

e = 9 − 5,605 = 3,395

Odpowiedź

e = 3,395

Punkt leży nad prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1