Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 15, 51, 32, 57, 38.
n = 5
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży powyżej 158?
μ = 170σ = 15x = 158
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 6 kul czerwonych i 4 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
6 / 4
P =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
Gra kosztuje €5. Wygrywasz €10 z prawdopodobieństwem 0,2 i €250 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.
stawka = €5€10: p = 0,2€250: p = 0,01
E(G) = €
5.Rozkład normalnyŚredni
Masy worków cementu są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 kg i odchyleniem standardowym 0,5 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 9 z nich będzie mniejsza niż 224,3 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 9< 224.3 kg
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,02 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,01 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
otwór: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
7.Przedziały ufnościŚredni
Próba 11 elementów ma średnią 13 i odchylenie standardowe s = 4. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99% dla średniej.
n = 11x̄ = 13s = 499%t(10) = 3,169
E =
8.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 23 poletek, średni plon 70,5 kg, odchylenie standardowe 3 kg. Grupa poletek 2: 8 poletek, średnia 72 kg, odchylenie standardowe 2 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
n₁ = 23x̄₁ = 70,5s₁ = 3n₂ = 8x̄₂ = 72s₂ = 290%t(29) = 1,699
górna granica = kg
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 49 studentów ma średni wynik 121 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 121s = 4n = 49
t =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5? Odchylenie standardowe wynosi 15. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 15E = 2,590%
n =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5Σx = 25Σy = 233Σx² = 165Σy² = 11607Σxy = 1337
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (19,5, 92). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 6(19,5, 92)
e =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 16,53
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 193/5 = 38,6
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = (−23,6)² + 12,4² + (−6,6)² + 18,4² + (−0,6)² = 1093
Odchylenie standardowe
s = √(1093/4) = 16,53
Odpowiedź
s = 16,53
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,7881
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −0,8
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Odpowiedź
P = 0,7881
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,3333
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 0,3333
Odpowiedź
P = 0,3333
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: E(G) = −0,5 €
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Wyniki netto
G: 5 (p = 0,2), 245 (p = 0,01), −5 (p = 0,79)
Wartość oczekiwana
E(G) = 5·0,2 + 245·0,01 − 5·0,79 = −0,5 €
Odpowiedź
E(G) = −0,5 €
Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,3192
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy całkowitej
μT = 225 kg, σT = 0,5·√9 = 1,5 kg
Standaryzuj
z = (224,3 − 225)/1,5 = −0,47
Prawdopodobieństwo
P = Φ(−0,47) = 0,3192
Odpowiedź
P = 0,3192
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,8133
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm
Standaryzuj
z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133
Odpowiedź
P = 0,8133
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 3,822
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 10, t = 3,169
Margines błędu
E = 3,169·4/√11 = 3,822
Odpowiedź
E = 3,822
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 0,4468 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (22·3² + 7·2²)/29 = 7,793
sp = 2,792
Margines błędu
E = 1,699·2,792·√(1/23 + 1/8) = 1,947
Przedział
−1,5 ± 1,947 → [−3,447, 0,4468]
Odpowiedź
górna granica = 0,4468 kg
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 1,75
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714
Statystyka testowa
t = (121 − 120)/0,5714 = 1,75
Odpowiedź
t = 1,75
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 98
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (1,645·15/2,5)² = 97,42
Zaokrąglij w górę
n = 98
Odpowiedź
n = 98
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9936
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 1337 − 25·233/5 = 172
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 11607 − 233²/5 = 749,2
Współczynnik korelacji
r = 172/√(40·749,2) = 0,9936
Odpowiedź
r = 0,9936
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = 5,157
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 597/6 = 99,5
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 664,5
Prosta regresji
b = 664,5/157,5 = 4,219
a = 99,5 − 4,219·22,5 = 4,571
ŷ = 4,571 + 4,219·x
Wartość przewidywana
ŷ = 4,571 + 4,219·19,5 = 86,84
Reszta
e = 92 − 86,84 = 5,157
Odpowiedź
e = 5,157
Punkt leży nad prostą.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1