Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 34, 34, 46, 45, 55, 12.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 8. Wyznacz wynik z z dla wyniku 84.

μ = 100σ = 8x = 84

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,25, 0,35, 0,1

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 7 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,6. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 7p = 0,6

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Jaka część wartości leży między 27,5 a 43,1 min? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 32σ = 6x₁ = 27,5x₂ = 43,1

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 90% wszystkich wartości (90. percentyl).

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 30 elementów ma średnią 114 i odchylenie standardowe s = 2. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 30x̄ = 114s = 299%t(29) = 2,756

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 6 poletek, średni plon 65 kg, odchylenie standardowe 10 kg. Grupa poletek 2: 25 poletek, średnia 73 kg, odchylenie standardowe 2,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 65s₁ = 10n₂ = 25x̄₂ = 73s₂ = 2,599%t(29) = 2,756

E = kg

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 120; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 15. Losowa próba 36 obserwacji ma średnią 124,35. Przetestuj H₀: μ = 120 przeciw H₁: μ ≠ 120. Wyznacz wartość p p.

μ₀ = 120σ = 15n = 36x̄ = 124,35H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 42 z 120 pacjentów leczonych metodą A i 84 z 200 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 42n₁ = 120x₂ = 84n₂ = 200

z =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (3,5, 55). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 55)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,9

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 226/6 = 37,67

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−3,667)² + (−3,667)² + 8,333² + 7,333² + 17,33² + (−25,67)² = 1109

Odchylenie standardowe

s = √(1109/5) = 14,9

Odpowiedź

s = 14,9

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −2

Standaryzuj

z = (84 − 100)/8 = −2

Odpowiedź

z = −2

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 3,95

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,3 + 2·0,25 + 4·0,35 + 6·0,1 = 2,5

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,25 + 16·0,35 + 36·0,1 = 10,2

Wariancja

Var(X) = 10,2 − 2,5² = 3,95

Odpowiedź

Var(X) = 3,95

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,01884

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,4⁷ = 0,001638

P(X = 1) = 7·0,6·0,4⁶ = 0,0172

Dodaj

P = 0,001638 + 0,0172 = 0,01884

Odpowiedź

P = 0,01884

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7412

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (27,5 − 32)/6 = −0,75

z₂ = (43,1 − 32)/6 = 1,85

Pole pomiędzy

P = Φ(1,85) − Φ(−0,75) = 0,9678 − 0,2266 = 0,7412

Odpowiedź

P = 0,7412

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 551,3 h

z dla percentyla

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Powrót do x

x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h

Odpowiedź

x = 551,26 h

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 115

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Margines błędu

E = 2,756·2/√30 = 1,006

Przedział

114 ± 1,006 → [113, 115]

Odpowiedź

górna granica = 115

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 5,932 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Łączne odchylenie standardowe

s_p² = (5·10² + 24·2,5²)/29 = 22,41

s_p = 4,734

Margines błędu

E = 2,756·4,734·√(1/6 + 1/25) = 5,932

Odpowiedź

E = 5,932 kg

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: p = 0,08186

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statystyka testowa

SE = σ/√n = 15/√36 = 2,5

z = (124,35 − 120)/2,5 = 1,74

Pole ogona

Φ(1,74) = 0,9591

1 − Φ(1,74) = 0,0409

Wartość p

p = 2·0,0409 = 0,08186

Odpowiedź

p = 0,08186

p > 0,05, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 %.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −1,241

Frakcje z prób

p̂₁ = 42/120 = 0,35

p̂₂ = 84/200 = 0,42

p̂ = 126/320 = 0,3937

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,3937·0,6062·(1/120 + 1/200)) = 0,05642

Statystyka testowa

z = (0,35 − 0,42)/0,05642 = −1,241

Odpowiedź

z = −1,241

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9869

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 562/6 = 93,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 466

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3143

Współczynnik determinacji

r² = 466²/(70·3143) = 0,9869

Odpowiedź

r² = 0,9869

Około 98,69% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = −5,15

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 287/5 = 57,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 55

Prosta regresji

b = 55/10 = 5,5

a = 57,4 − 5,5·3 = 40,9

ŷ = 40,9 + 5,5·x

Wartość przewidywana

ŷ = 40,9 + 5,5·3,5 = 60,15

Reszta

e = 55 − 60,15 = −5,15

Odpowiedź

e = −5,15

Punkt leży pod prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1