Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 41, 38, 19, 19, 23, 19, 34.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 15. Wyznacz wynik z z dla wyniku 55.

μ = 70σ = 15x = 55

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,25, 0,3, 0,2

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 3X + 1. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,05, 0,3, 0,05, 0,3Y = 3X + 1

σ_Y =

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,7850. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,7850

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 20% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 178 cmσ = 7 cm20%

x = cm

7.Przedziały ufnościŚredni

U 16 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią −6,2 i odchylenie standardowe 7,9. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95 % dla średniej różnicy.

n = 16d̄ = −6,2s_d = 7,995%t(15) = 2,131

E = mmHg

8.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 30 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 7,9 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 29 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 16,047, a 2,5 % powyżej 45,722.

n = 30s = 7,9 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 100 studentów ma średni wynik 120,8 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 120,8s = 12n = 100

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 180 z 300 pacjentów leczonych metodą A i 102 z 150 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 180n₁ = 300x₂ = 102n₂ = 150

z =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 147Σy = 596Σx² = 3759Σy² = 62946Σxy = 15367

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 22?

n = 6ŷ = 22

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 9,761

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 193/7 = 27,57

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 13,43² + 10,43² + (−8,571)² + (−8,571)² + (−4,571)² + (−8,571)² + 6,429² = 571,7

Odchylenie standardowe

s = √(571,7/6) = 9,761

Odpowiedź

s = 9,761

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −1

Standaryzuj

z = (55 − 70)/15 = −1

Odpowiedź

z = −1

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 2,142

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,25 + 2·0,25 + 4·0,3 + 6·0,2 = 2,9

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,25 + 16·0,3 + 36·0,2 = 13

Wariancja

Var(X) = 13 − 2,9² = 4,59

σ = √4,59 = 2,142

Odpowiedź

σ = 2,142

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 4,743

Rozrzut X

μ = 3, Var(X) = 2,5, σ_X = 1,581

Zmiana liniowa

σ_Y = |3|·1,581 = 4,743

Odpowiedź

σ_Y = 4,743

Średnia się przesuwa: E(Y) = 3·3 + 1 = 10.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,24

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,7850)/2 = 0,8925

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,8925 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,24

Odpowiedź

z = 1,24

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 172,1 cm

Pole po lewej

Φ(z) = 0,2

z z tablicy

z ≈ −0,84

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 178 − 0,84·7 = 172,1 cm

Odpowiedź

x = 172,1 cm

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 4,209 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Wartość krytyczna

df = 15, t = 2,131

Margines błędu

E = 2,131·7,9/√16 = 4,209

Odpowiedź

E = 4,209 mmHg

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 6,292 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 29·7,9² = 1810

Granice dla σ²

1810/45,722 = 39,58

1810/16,047 = 112,8

Granica dla σ

σ = √39,58 = 6,292 µm

Odpowiedź

σ = 6,292 µm

Przedział 95 % dla σ: [6,292, 10,62] µm.

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 0,6667

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2

Statystyka testowa

t = (120,8 − 120)/1,2 = 0,6667

Odpowiedź

t = 0,6667

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −1,654

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Frakcje z prób

p̂₁ = 180/300 = 0,6

p̂₂ = 102/150 = 0,68

p̂ = 282/450 = 0,6267

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,6267·0,3733·(1/300 + 1/150)) = 0,04837

Statystyka testowa

z = (0,6 − 0,68)/0,04837 = −1,654

Odpowiedź

z = −1,654

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9963

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 15367 − 147·596/6 = 765

S_xx = 3759 − 147²/6 = 157,5

S_yy = 62946 − 596²/6 = 3743

Współczynnik korelacji

r = 765/√(157,5·3743) = 0,9963

Odpowiedź

r = 0,9963

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 7,238

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 128/6 = 21,33

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 196

Prosta regresji

b = 196/70 = 2,8

a = 21,33 − 2,8·7 = 1,733

ŷ = 1,733 + 2,8·x

Wyznacz x

x = (22 − 1,733)/2,8 = 7,238

Odpowiedź

x = 7,238

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1