Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 27, 44, 53, 25, 31, 23.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 8. Wyznacz wynik z z dla wyniku 60.

μ = 50σ = 8x = 60

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,35, 0,1, 0,3

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €2. Wygrywasz €6 z prawdopodobieństwem 0,15 i €100 z prawdopodobieństwem 0,02; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €2€6: p = 0,15€100: p = 0,02

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

X ma rozkład normalny ze średnią 12 min i odchyleniem standardowym 1,5 min; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 20 min i odchyleniem standardowym 2 min. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 34,5 min. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 34,5 min

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Czas okrążenia X biegacza A i czas okrążenia Y biegacza B są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 52 s i odchylenie standardowe 4 s, Y ma średnią 48 s i odchylenie standardowe 3 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 11 elementów ma średnią 99 i odchylenie standardowe s = 16,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 11x̄ = 99s = 16,590%t(10) = 1,812

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 16. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3?

σ = 16E = 399%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 11 uczniów, średni wynik 72,5, odchylenie standardowe 7. Grupa 2: 5 uczniów, średni wynik 65,3, odchylenie standardowe 7. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 11x̄₁ = 72,5s₁ = 7n₂ = 5x̄₂ = 65,3s₂ = 7

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 2 jednostek z mocą 90 %. Odchylenie standardowe wynosi 6. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,05moc = 90%δ = 2σ = 6z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (3, 14). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(3, 14)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 12,01

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 203/6 = 33,83

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−6,833)² + 10,17² + 19,17² + (−8,833)² + (−2,833)² + (−10,83)² = 720,8

Odchylenie standardowe

s = √(720,8/5) = 12,01

Odpowiedź

s = 12,01

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1,25

Standaryzuj

z = (60 − 50)/8 = 1,25

Odpowiedź

z = 1,25

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 1,161

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,25 + 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,3 = 1,45

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,3 = 3,45

Wariancja

Var(X) = 3,45 − 1,45² = 1,347

σ = √1,347 = 1,161

Odpowiedź

σ = 1,161

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 0,9 €

Wyniki netto

G: 4 (p = 0,15), 98 (p = 0,02), −2 (p = 0,83)

Wartość oczekiwana

E(G) = 4·0,15 + 98·0,02 − 2·0,83 = 0,9 €

Odpowiedź

E(G) = 0,9 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,1587

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standaryzuj

z = (34,5 − 32)/2,5 = 1

Górny ogon

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Odpowiedź

P = 0,1587

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7881

Rozkład różnicy

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standaryzuj

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Odpowiedź

P = 0,7881

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 108

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Margines błędu

E = 1,812·16,5/√11 = 9,015

Przedział

99 ± 9,015 → [89,99, 108]

Odpowiedź

górna granica = 108

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 189

Wyznacz n

n = (2,576·16/3)² = 188,8

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 189

Odpowiedź

n = 189

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,907

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (10·7² + 4·7²)/14 = 49

s_p = 7

Błąd standardowy

SE = 7·√(1/11 + 1/5) = 3,776

Statystyka testowa

t = (72,5 − 65,3)/3,776 = 1,907

Odpowiedź

t = 1,907

Przy df = 14 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,145; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 78

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((1,645 + 1,282)·6/2)² = 77,11

Zaokrąglij w górę

n = 78

Odpowiedź

n = 78

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,9529

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 140/6 = 23,33

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 39,33

Współczynnik korelacji

r = −25/√(17,5·39,33) = −0,9529

Odpowiedź

r = −0,9529

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 5,31

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 95/6 = 15,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 125

Prosta regresji

b = 125/70 = 1,786

a = 15,83 − 1,786·7 = 3,333

ŷ = 3,333 + 1,786·x

Wartość przewidywana

ŷ = 3,333 + 1,786·3 = 8,69

Reszta

e = 14 − 8,69 = 5,31

Odpowiedź

e = 5,31

Punkt leży nad prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1