Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne
P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Rozkład normalny

Wynik z
z = (x − μ)/σ
Poniżej x
P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentyl
x = μ + z·σ

Metoda

  1. Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
  2. Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
  3. Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
  4. Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

  1. Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
  2. Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
  3. Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
  4. Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n

Metoda

  1. Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
  2. Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
  3. Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
  4. Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy
b = Sxy/Sxx
Wyraz wolny
a = ȳ − b·x̄
Korelacja
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reszta
e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni
10152025303540455055

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 12, 37, 33, 10, 57.

n = 5
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
z −2−1012

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży poniżej 82,5?

μ = 60σ = 15x = 82,5
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
n = 15k = 5N = ?

Na ile sposobów N można wybrać komisję 5 osób z grupy 15 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 15k = 5
N =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
n = 5, p = 0,3: P(X = 2) = ?k012345

Test ma 5 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,3, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 2 poprawnych odpowiedzi?

n = 5p = 0,3k = 2
P =
5.Rozkład normalnyŚredni
100 kg98,5 kgT = X₁ + … + X₄?

Masy worków cementu są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 kg i odchyleniem standardowym 0,5 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 4 z nich przekroczy 98,5 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 4> 98,5 kg
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
μ = 250x = ?90%

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 90% wszystkich wartości (90. percentyl).

μ = 250σ = 5P = 90%
x = g
7.Przedziały ufnościŚredni
n = 25, s = 9,5LU = ?x̄ = 37,5E99%

Próba 25 elementów ma średnią 37,5 i odchylenie standardowe s = 9,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 25x̄ = 37,5s = 9,599%t(24) = 2,797
górna granica =
8.Przedziały ufnościTrudny
σ = 9, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,595%

Odchylenie standardowe populacji wynosi 9. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5?

σ = 9E = 0,595%
n =
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
t −1,99801,998

Próba 64 studentów ma średni wynik 123 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 123s = 10n = 64
t =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
z −1,64501,645

Próba 64 pomiarów ma średnią 73,3. Odchylenie standardowe populacji wynosi 5. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.

x̄ = 73,3σ = 5n = 6490%
U =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
xy17382049235426672979xy202530406080

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5Σx = 115Σy = 287Σx² = 2735Σy² = 17491Σxy = 6901
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
xy1503595757849102xy56080100x = 4

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 4.

n = 5x = 4
ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 19,43

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 149/5 = 29,8

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−17,8)² + 7,2² + 3,2² + (−19,8)² + 27,2² = 1511

Odchylenie standardowe

s = √(1511/4) = 19,43

Odpowiedź

s = 19,43
2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9332

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Standaryzuj

z = 1,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332

Odpowiedź

P = 0,9332
3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 3003

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(15, 5) = (15·14·13·12·11)/(5·4·3·2·1) = 3003

Odpowiedź

N = 3003
4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,3087

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Wzór dwumianowy

P(X = 2) = 10·0,32·0,73 = 10·0,09·0,343 = 0,3087

Odpowiedź

P = 0,3087
5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9332

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μT = 100 kg, σT = 0,5·√4 = 1 kg

Standaryzuj

z = (98,5 − 100)/1 = −1,5

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

Odpowiedź

P = 0,9332
6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 256,4 g

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Powrót do x

x = 250 + 1,282·5 = 256,41 g

Odpowiedź

x = 256,41 g
7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 42,81

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 24, t = 2,797

Margines błędu

E = 2,797·9,5/√25 = 5,314

Przedział

37,5 ± 5,314 → [32,19, 42,81]

Odpowiedź

górna granica = 42,81
8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1245

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,96·9/0,5)² = 1245

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 1245

Odpowiedź

n = 1245
9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,4

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25

Statystyka testowa

t = (123 − 120)/1,25 = 2,4

Odpowiedź

t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 74,33

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 1,645·5/√64 = 1,028

Granica przedziału

U = 73,3 + 1,028 = 74,33

Odpowiedź

U = 74,33
11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9915

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

Sxy = 6901 − 115·287/5 = 300
Sxx = 2735 − 115²/5 = 90
Syy = 17491 − 287²/5 = 1017

Współczynnik korelacji

r = 300/√(90·1017) = 0,9915

Odpowiedź

r = 0,9915
12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 67,55

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 370/5 = 74

Sumy kwadratów i iloczynów

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258

Prosta regresji

b = 258/40 = 6,45
a = 74 − 6,45·5 = 41,75
ŷ = 41,75 + 6,45·x

Prognoza

ŷ = 41,75 + 6,45·4 = 67,55

Odpowiedź

ŷ = 67,55

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1