Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 29, 59, 17, 14, 38.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży poniżej 55?

μ = 70σ = 15x = 55

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 2X + 5. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,25, 0,35, 0,05Y = 2X + 5

σ_Y =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Jaka część wartości leży między 488 a 582 h? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 500σ = 40x₁ = 488x₂ = 582

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 75% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 178 cmσ = 7 cm75%

x = cm

7.Przedziały ufnościŚredni

Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 30 telefonów, średnia 66 h, znane odchylenie standardowe 13 h. Model 2: 100 telefonów, średnia 75,5 h, znane odchylenie standardowe 15 h. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 66 hσ₁ = 13 hn₂ = 100x̄₂ = 75,5 hσ₂ = 15 h99%

dolna granica = h

8.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 10 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 9,7 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 9 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 2,7, a 2,5 % powyżej 19,023.

n = 10s = 9,7 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 80 części ma średnią długość 89,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 19 mm. Linia 2: próba 80 części ma średnią 94,6 mm, znane odchylenie standardowe 19 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).

n₁ = 80x̄₁ = 89,5 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 80x̄₂ = 94,6 mmσ₂ = 19 mm

z =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 500 przeciw H₁: μ < 500 przeprowadza się na poziomie α = 0.10 na próbie o liczebności 100; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 5. W rzeczywistości średnia wynosi 498.45. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.

μ₀ = 500μ = 498,45σ = 5n = 100α = 0,10

β = %

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (3,5, 68). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 68)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 18,17

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 157/5 = 31,4

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−2,4)² + 27,6² + (−14,4)² + (−17,4)² + 6,6² = 1321

Odchylenie standardowe

s = √(1321/4) = 18,17

Odpowiedź

s = 18,17

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,1587

Standaryzuj

z = −1

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Odpowiedź

P = 0,1587

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 0,6475

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Wariancja

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

Odpowiedź

Var(X) = 0,6475

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 1,887

Rozrzut X

μ = 1,1, Var(X) = 0,89, σ_X = 0,9434

Zmiana liniowa

σ_Y = |2|·0,9434 = 1,887

Odpowiedź

σ_Y = 1,887

Średnia się przesuwa: E(Y) = 2·1,1 + 5 = 7,2.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,5977

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (488 − 500)/40 = −0,3

z₂ = (582 − 500)/40 = 2,05

Pole pomiędzy

P = Φ(2,05) − Φ(−0,3) = 0,9798 − 0,3821 = 0,5977

Odpowiedź

P = 0,5977

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 182,7 cm

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,75

z z tablicy

z ≈ 0,67

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 178 + 0,67·7 = 182,7 cm

Odpowiedź

x = 182,7 cm

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = −16,73 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estymator punktowy

x̄₁ − x̄₂ = 66 − 75,5 = −9,5

Błąd standardowy

SE = √(13²/30 + 15²/100) = 2,808

Margines błędu

E = 2,576·2,808 = 7,233

Przedział

−9,5 ± 7,233 → [−16,73, −2,267]

Odpowiedź

dolna granica = −16,73 h

Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 17,71 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 9·9,7² = 846,8

Granice dla σ²

846,8/19,023 = 44,52

846,8/2,7 = 313,6

Granica dla σ

σ = √313,6 = 17,71 µm

Odpowiedź

σ = 17,71 µm

Przedział 95 % dla σ: [6,672, 17,71] µm.

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −1,698

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Błąd standardowy różnicy

SE = √(19²/80 + 19²/80) = √9,025 = 3,004

Statystyka testowa

z = (89,5 − 94,6)/3,004 = −1,698

Odpowiedź

z = −1,698

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: β = 3,453 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 5/√100 = 0,5

x̄_c = 500 − 1,282·0,5 = 499,4

z przy prawdziwej średniej

z = (499,4 − 498,45)/0,5 = 1,818

Błąd II rodzaju

moc = P(Z < 1.818) = 96.55%

β = 100% − 96,55% = 3,453%

Odpowiedź

β = 3,453%

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9402

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 71/5 = 14,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 178,8

Współczynnik determinacji

r² = 82²/(40·178,8) = 0,9402

Odpowiedź

r² = 0,9402

Około 94,02% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = −1,69

Średnie

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 509/6 = 84,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132,5

Prosta regresji

b = 132,5/17,5 = 7,571

a = 84,83 − 7,571·5,5 = 43,19

ŷ = 43,19 + 7,571·x

Wartość przewidywana

ŷ = 43,19 + 7,571·3,5 = 69,69

Reszta

e = 68 − 69,69 = −1,69

Odpowiedź

e = −1,69

Punkt leży pod prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1