Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 19, 13, 30, 50, 41, 13, 32.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 50. Wyznacz wynik z z dla wyniku 562,5.

μ = 500σ = 50x = 562,5

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,25, 0,1

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 11 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 11p = 0,1

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Jaka część wartości leży między 169,95 a 183,95 cm? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 178σ = 7x₁ = 169,95x₂ = 183,95

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 75% wszystkich wartości (75. percentyl).

μ = 500σ = 40P = 75%

x = h

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 13 elementów ma średnią 120 i odchylenie standardowe s = 1. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 13x̄ = 120s = 195%t(12) = 2,179

dolna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Badanie pilotażowe sugeruje, że wadliwych jest około 0,6 produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 95 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,03?

p ≈ 0,6E = 0,0395%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 16 studentów ma średni wynik 96,4 i odchylenie standardowe z próby 8. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 96,4s = 8n = 16

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 36 pomiarów ma średnią 197,7. Odchylenie standardowe populacji wynosi 5. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 197,7σ = 5n = 3695%

U =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 56?

n = 5ŷ = 56

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,16

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 198/7 = 28,29

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−9,286)² + (−15,29)² + 1,714² + 21,71² + 12,71² + (−15,29)² + 3,714² = 1203

Odchylenie standardowe

s = √(1203/6) = 14,16

Odpowiedź

s = 14,16

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1,25

Standaryzuj

z = (562,5 − 500)/50 = 1,25

Odpowiedź

z = 1,25

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 3,96

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,35 + 2·0,3 + 4·0,25 + 6·0,1 = 2,2

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,3 + 16·0,25 + 36·0,1 = 8,8

Wariancja

Var(X) = 8,8 − 2,2² = 3,96

Odpowiedź

Var(X) = 3,96

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,6974

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,9¹¹ = 0,3138

P(X = 1) = 11·0,1·0,9¹⁰ = 0,3835

Dodaj

P = 0,3138 + 0,3835 = 0,6974

Odpowiedź

P = 0,6974

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6773

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (169,95 − 178)/7 = −1,15

z₂ = (183,95 − 178)/7 = 0,85

Pole pomiędzy

P = Φ(0,85) − Φ(−1,15) = 0,8023 − 0,1251 = 0,6773

Odpowiedź

P = 0,6773

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 527 h

z dla percentyla

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Powrót do x

x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h

Odpowiedź

x = 526,98 h

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 119,4

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 12, t = 2,179

Margines błędu

E = 2,179·1/√13 = 0,6043

Przedział

120 ± 0,6043 → [119,4, 120,6]

Odpowiedź

dolna granica = 119,4

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1025

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Wyznacz n

n = 1,96²·0,6·0,4/0,03² = 1024

Zaokrąglij w górę

n = 1025

Odpowiedź

n = 1025

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,8

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

Statystyka testowa

t = (96,4 − 100)/2 = −1,8

Odpowiedź

t = −1,8

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 199,3

Margines błędu

E = 1,96·5/√36 = 1,633

Granica przedziału

U = 197,7 + 1,633 = 199,3

Odpowiedź

U = 199,3

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9922

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 250/5 = 50

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 634

Współczynnik korelacji

r = 158/√(40·634) = 0,9922

Odpowiedź

r = 0,9922

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 16,84

Średnie

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 325/5 = 65

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114

Prosta regresji

b = 114/40 = 2,85

a = 65 − 2,85·20 = 8

ŷ = 8 + 2,85·x

Wyznacz x

x = (56 − 8)/2,85 = 16,84

Odpowiedź

x = 16,84

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1