Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 57, 41, 22, 57, 33, 41, 21.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży powyżej 20?

μ = 50σ = 20x = 20

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,15, 0,25, 0,35, 0,1

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €2. Wygrywasz €8 z prawdopodobieństwem 0,15 i €100 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €2€8: p = 0,15€100: p = 0,01

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

Masy śrub są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 40 g i odchyleniem standardowym 1,2 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 8 z nich będzie mniejsza niż 325,1 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 8< 325.1 g

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,04 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 11 elementów ma średnią 30,5 i odchylenie standardowe s = 5,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 11x̄ = 30,5s = 5,590%t(10) = 1,812

E =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 36. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5?

σ = 36E = 0,590%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 36 studentów ma średni wynik 204,8 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 204,8s = 10n = 36

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 500 przeciw H₁: μ < 500 przeprowadza się na poziomie α = 0.01 na próbie o liczebności 36; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 18. W rzeczywistości średnia wynosi 491.3. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.

μ₀ = 500μ = 491,3σ = 18n = 36α = 0,01

1 − β = %

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 42Σy = 132Σx² = 364Σy² = 3490Σxy = 1126

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,75

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 272/7 = 38,86

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 18,14² + 2,143² + (−16,86)² + 18,14² + (−5,857)² + 2,143² + (−17,86)² = 1305

Odchylenie standardowe

s = √(1305/6) = 14,75

Odpowiedź

s = 14,75

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9332

Standaryzuj

z = −1,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Odpowiedź

P = 0,9332

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 1,221

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 1·0,15 + 2·0,15 + 3·0,25 + 4·0,35 + 5·0,1 = 3,1

Średnia kwadratów

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,15 + 9·0,25 + 16·0,35 + 25·0,1 = 11,1

Wariancja

Var(X) = 11,1 − 3,1² = 1,49

σ = √1,49 = 1,221

Odpowiedź

σ = 1,221

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 0,2 €

Wyniki netto

G: 6 (p = 0,15), 98 (p = 0,01), −2 (p = 0,84)

Wartość oczekiwana

E(G) = 6·0,15 + 98·0,01 − 2·0,84 = 0,2 €

Odpowiedź

E(G) = 0,2 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9332

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 320 g, σ_T = 1,2·√8 = 3,394 g

Standaryzuj

z = (325,1 − 320)/3,394 = 1,5

Prawdopodobieństwo

P = Φ(1,5) = 0,9332

Odpowiedź

P = 0,9332

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9207

Rozkład różnicy

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02828 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,04)/0,02828 = −1,41

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Odpowiedź

P = 0,9207

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 3,005

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Margines błędu

E = 1,812·5,5/√11 = 3,005

Odpowiedź

E = 3,005

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 14029

Wyznacz n

n = (1,645·36/0,5)² = 14028

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 14029

Odpowiedź

n = 14029

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,88

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Statystyka testowa

t = (204,8 − 200)/1,667 = 2,88

Odpowiedź

t = 2,88

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: 1 − β = 71,7 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 18/√36 = 3

x̄_c = 500 − 2,326·3 = 493

z przy prawdziwej średniej

z = (493 − 491,3)/3 = 0,574

Moc

moc = P(Z < 0.574) = 71.7%

1 − β = 71,7%

Odpowiedź

1 − β = 71,7%

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9974

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 1126 − 42·132/6 = 202

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 3490 − 132²/6 = 586

Współczynnik korelacji

r = 202/√(70·586) = 0,9974

Odpowiedź

r = 0,9974

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 11,4

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 65/5 = 13

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

Prosta regresji

b = 64/40 = 1,6

a = 13 − 1,6·6 = 3,4

ŷ = 3,4 + 1,6·x

Prognoza

ŷ = 3,4 + 1,6·5 = 11,4

Odpowiedź

ŷ = 11,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1