Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 42, 52, 52, 59, 49, 28, 27.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 10. Wyznacz wynik z z dla wyniku 75.

μ = 60σ = 10x = 75

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 5

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 5 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,6, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 2 poprawnych odpowiedzi?

n = 5p = 0,6k = 2

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Jaka część wartości leży między 442 a 548 h? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 500σ = 40x₁ = 442x₂ = 548

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 97,5% wszystkich wartości (97,5. percentyl).

μ = 500σ = 40P = 97,5%

x = h

7.Przedziały ufnościŚredni

U 12 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią −4,8 i odchylenie standardowe 1,5. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99 % dla średniej różnicy.

n = 12d̄ = −4,8s_d = 1,599%t(11) = 3,106

E = mmHg

8.Przedziały ufnościTrudny

Z góry nic nie wiadomo o frakcji wadliwych produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 99 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,025?

p = 0,5E = 0,02599%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 5 uczniów, średni wynik 87,5, odchylenie standardowe 7. Grupa 2: 9 uczniów, średni wynik 69,8, odchylenie standardowe 12. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 5x̄₁ = 87,5s₁ = 7n₂ = 9x̄₂ = 69,8s₂ = 12

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 64 pomiarów ma średnią 76,6. Odchylenie standardowe populacji wynosi 5. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 76,6σ = 5n = 6495%

U =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (3,5, 71). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 71)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 12,43

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 309/7 = 44,14

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−2,143)² + 7,857² + 7,857² + 14,86² + 4,857² + (−16,14)² + (−17,14)² = 926,9

Odchylenie standardowe

s = √(926,9/6) = 12,43

Odpowiedź

s = 12,43

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1,5

Standaryzuj

z = (75 − 60)/10 = 1,5

Odpowiedź

z = 1,5

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,5981

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Odpowiedź

P = 0,5981

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2304

Wzór dwumianowy

P(X = 2) = 10·0,6²·0,4³ = 10·0,36·0,064 = 0,2304

Odpowiedź

P = 0,2304

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8114

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (442 − 500)/40 = −1,45

z₂ = (548 − 500)/40 = 1,2

Pole pomiędzy

P = Φ(1,2) − Φ(−1,45) = 0,8849 − 0,07353 = 0,8114

Odpowiedź

P = 0,8114

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 578,4 h

z dla percentyla

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Powrót do x

x = 500 + 1,96·40 = 578,4 h

Odpowiedź

x = 578,4 h

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 1,345 mmHg

Przedział dla różnicy: oszacowanie ± wartość krytyczna × błąd standardowy. Dla dwóch niezależnych średnich przy znanym σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) i z. Przy równych nieznanych wariancjach: łączne s_p i t z n₁ + n₂ − 2 stopniami swobody. Dla prób zależnych pracuj na różnicach: d̄ ± t·s_d/√n.

Wartość krytyczna

df = 11, t = 3,106

Margines błędu

E = 3,106·1,5/√12 = 1,345

Odpowiedź

E = 1,345 mmHg

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 2655

Przedział ufności dla frakcji: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), gdzie p̂ = x/n. Aby osiągnąć margines E, potrzebujesz n ≥ z²·p(1 − p)/E², zaokrąglone w górę; bez wstępnego oszacowania użyj p = 0,5, co daje największe n.

Wyznacz n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,025² = 2654

Zaokrąglij w górę

n = 2655

Odpowiedź

n = 2655

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,994

Test hipotezy: statystyka testowa = (oszacowanie − wartość przy H₀)/(błąd standardowy przy H₀). Wartość p to prawdopodobieństwo, przy założeniu prawdziwości H₀, uzyskania statystyki co najmniej tak skrajnej jak zaobserwowana: pole w jednym ogonie dla jednostronnej H₁, dwukrotność pola ogona dla dwustronnej H₁. Odrzuć H₀, gdy p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (4·7² + 8·12²)/12 = 112,3

s_p = 10,6

Błąd standardowy

SE = 10,6·√(1/5 + 1/9) = 5,912

Statystyka testowa

t = (87,5 − 69,8)/5,912 = 2,994

Odpowiedź

t = 2,994

Przy df = 12 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,179; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 77,82

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 1,96·5/√64 = 1,225

Granica przedziału

U = 76,6 + 1,225 = 77,82

Odpowiedź

U = 77,82

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9843

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 474/6 = 79

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 543

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1902

Współczynnik determinacji

r² = 543²/(157,5·1902) = 0,9843

Odpowiedź

r² = 0,9843

Około 98,43% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 5,4

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 312/5 = 62,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

Prosta regresji

b = 64/10 = 6,4

a = 62,4 − 6,4·3 = 43,2

ŷ = 43,2 + 6,4·x

Wartość przewidywana

ŷ = 43,2 + 6,4·3,5 = 65,6

Reszta

e = 71 − 65,6 = 5,4

Odpowiedź

e = 5,4

Punkt leży nad prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1