Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 36, 34, 43, 22, 47.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 12. Wyznacz wynik z z dla wyniku 60,4.

μ = 70σ = 12x = 60,4

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 4 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 4

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 6 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 6p = 0,4

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

X ma rozkład normalny ze średnią 60 s i odchyleniem standardowym 5 s; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 45 s i odchyleniem standardowym 4 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 117,8 s. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 117,8 s

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 25% wszystkich wartości (25. percentyl).

μ = 250σ = 5P = 25%

x = g

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 21 elementów ma średnią 24 i odchylenie standardowe s = 4,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 21x̄ = 24s = 4,590%t(20) = 1,725

dolna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 38. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 5?

σ = 38E = 590%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 100 części ma średnią długość 143,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 6 mm. Linia 2: próba 30 części ma średnią 147,7 mm, znane odchylenie standardowe 13 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).

n₁ = 100x̄₁ = 143,5 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 30x̄₂ = 147,7 mmσ₂ = 13 mm

z =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 200 przeciw H₁: μ > 200 przeprowadza się na poziomie α = 0,05 na próbie o liczebności 64; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 20. W rzeczywistości średnia wynosi 202,75. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.

μ₀ = 200μ = 202,75σ = 20n = 64α = 0,05

β = %

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (9, 28). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(9, 28)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 9,607

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 182/5 = 36,4

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−0,4)² + (−2,4)² + 6,6² + (−14,4)² + 10,6² = 369,2

Odchylenie standardowe

s = √(369,2/4) = 9,607

Odpowiedź

s = 9,607

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −0,8

Standaryzuj

z = (60,4 − 70)/12 = −0,8

Odpowiedź

z = −0,8

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,5177

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Odpowiedź

P = 0,5177

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2333

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,6⁶ = 0,04666

P(X = 1) = 6·0,4·0,6⁵ = 0,1866

Dodaj

P = 0,04666 + 0,1866 = 0,2333

Odpowiedź

P = 0,2333

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,02275

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standaryzuj

z = (117,8 − 105)/6,403 = 2

Górny ogon

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Odpowiedź

P = 0,02275

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 246,6 g

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Powrót do x

x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g

Odpowiedź

x = 246,63 g

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 22,31

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Margines błędu

E = 1,725·4,5/√21 = 1,694

Przedział

24 ± 1,694 → [22,31, 25,69]

Odpowiedź

dolna granica = 22,31

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 157

Wyznacz n

n = (1,645·38/5)² = 156,3

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 157

Odpowiedź

n = 157

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −1,716

Test hipotezy: statystyka testowa = (oszacowanie − wartość przy H₀)/(błąd standardowy przy H₀). Wartość p to prawdopodobieństwo, przy założeniu prawdziwości H₀, uzyskania statystyki co najmniej tak skrajnej jak zaobserwowana: pole w jednym ogonie dla jednostronnej H₁, dwukrotność pola ogona dla dwustronnej H₁. Odrzuć H₀, gdy p ≤ α.

Błąd standardowy różnicy

SE = √(6²/100 + 13²/30) = √5,993 = 2,448

Statystyka testowa

z = (143,5 − 147,7)/2,448 = −1,716

Odpowiedź

z = −1,716

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: β = 70,71 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 20/√64 = 2,5

x̄_c = 200 + 1,645·2,5 = 204,1

z przy prawdziwej średniej

z = (204,1 − 202,75)/2,5 = 0,545

Błąd II rodzaju

moc = P(Z > 0,545) = 29,29%

β = 100% − 29,29% = 70,71%

Odpowiedź

β = 70,71%

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,993

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 129/5 = 25,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 744,8

Współczynnik determinacji

r² = 172²/(40·744,8) = 0,993

Odpowiedź

r² = 0,993

Około 99,3% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = −2,938

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 145/6 = 24,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 237

Prosta regresji

b = 237/70 = 3,386

a = 24,17 − 3,386·7 = 0,4667

ŷ = 0,4667 + 3,386·x

Wartość przewidywana

ŷ = 0,4667 + 3,386·9 = 30,94

Reszta

e = 28 − 30,94 = −2,938

Odpowiedź

e = −2,938

Punkt leży pod prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1