Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 23, 47, 45, 30, 43.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 8. Wyznacz wynik z z dla wyniku 78.

μ = 70σ = 8x = 78

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 4 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 4

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = −2X + 20. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,35, 0,2, 0,1, 0,25Y = −2X + 20

σ_Y =

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,7154. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,7154

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 20% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 178 cmσ = 7 cm20%

x = cm

7.Przedziały ufnościŚredni

U 6 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią −5 i odchylenie standardowe 1,3. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95 % dla średniej różnicy.

n = 6d̄ = −5s_d = 1,395%t(5) = 2,571

dolna granica = mmHg

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 30. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?

σ = 30E = 295%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 6 uczniów, średni wynik 30, odchylenie standardowe 4. Grupa 2: 15 uczniów, średni wynik 22, odchylenie standardowe 7. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 6x̄₁ = 30s₁ = 4n₂ = 15x̄₂ = 22s₂ = 7

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 88 z 250 pacjentów leczonych metodą A i 30 z 120 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 88n₁ = 250x₂ = 30n₂ = 120

z =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 19.

n = 6x = 19

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 10,53

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 188/5 = 37,6

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−14,6)² + 9,4² + 7,4² + (−7,6)² + 5,4² = 443,2

Odchylenie standardowe

s = √(443,2/4) = 10,53

Odpowiedź

s = 10,53

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1

Standaryzuj

z = (78 − 70)/8 = 1

Odpowiedź

z = 1

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,5177

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Odpowiedź

P = 0,5177

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 2,718

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Rozrzut X

μ = 2,05, Var(X) = 1,848, σ_X = 1,359

Zmiana liniowa

σ_Y = |−2|·1,359 = 2,718

Odpowiedź

σ_Y = 2,718

Średnia się przesuwa: E(Y) = −2·2,05 + 20 = 15,9.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,07

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,7154)/2 = 0,8577

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,8577 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,07

Odpowiedź

z = 1,07

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 183,9 cm

Pole po lewej

Φ(z) = 0,8

z z tablicy

z ≈ 0,84

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 178 + 0,84·7 = 183,9 cm

Odpowiedź

x = 183,9 cm

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = −6,364 mmHg

Przedział dla różnicy: oszacowanie ± wartość krytyczna × błąd standardowy. Dla dwóch niezależnych średnich przy znanym σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) i z. Przy równych nieznanych wariancjach: łączne s_p i t z n₁ + n₂ − 2 stopniami swobody. Dla prób zależnych pracuj na różnicach: d̄ ± t·s_d/√n.

Wartość krytyczna

df = 5, t = 2,571

Margines błędu

E = 2,571·1,3/√6 = 1,364

Przedział

−5 ± 1,364 → [−6,364, −3,636]

Odpowiedź

dolna granica = −6,364 mmHg

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 865

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,96·30/2)² = 864,4

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 865

Odpowiedź

n = 865

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,608

Test hipotezy: statystyka testowa = (oszacowanie − wartość przy H₀)/(błąd standardowy przy H₀). Wartość p to prawdopodobieństwo, przy założeniu prawdziwości H₀, uzyskania statystyki co najmniej tak skrajnej jak zaobserwowana: pole w jednym ogonie dla jednostronnej H₁, dwukrotność pola ogona dla dwustronnej H₁. Odrzuć H₀, gdy p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (5·4² + 14·7²)/19 = 40,32

s_p = 6,349

Błąd standardowy

SE = 6,349·√(1/6 + 1/15) = 3,067

Statystyka testowa

t = (30 − 22)/3,067 = 2,608

Odpowiedź

t = 2,608

Przy df = 19 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,093; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = 1,971

Frakcje z prób

p̂₁ = 88/250 = 0,352

p̂₂ = 30/120 = 0,25

p̂ = 118/370 = 0,3189

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,3189·0,6811·(1/250 + 1/120)) = 0,05176

Statystyka testowa

z = (0,352 − 0,25)/0,05176 = 1,971

Odpowiedź

z = 1,971

|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9956

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 168/6 = 28

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 274

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1082

Współczynnik korelacji

r = 274/√(70·1082) = 0,9956

Odpowiedź

r = 0,9956

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 62,33

Średnie

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 374/6 = 62,33

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 208

Prosta regresji

b = 208/70 = 2,971

a = 62,33 − 2,971·19 = 5,876

ŷ = 5,876 + 2,971·x

Prognoza

ŷ = 5,876 + 2,971·19 = 62,33

Odpowiedź

ŷ = 62,33

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1