Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 36, 35, 30, 47, 41, 59.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 15. Wyznacz wynik z z dla wyniku 68,75.

μ = 50σ = 15x = 68,75

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 3 osób z grupy 7 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 7k = 3

N =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 9 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,25. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 9p = 0,25

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 62 a 83,5 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 65σ = 10x₁ = 62x₂ = 83,5

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 5% wszystkich wartości (5. percentyl).

μ = 100σ = 15P = 5%

x = pkt

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 11 elementów ma średnią 44 i odchylenie standardowe s = 6. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 11x̄ = 44s = 690%t(10) = 1,812

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 10. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?

σ = 10E = 1,595%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 80; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 20. Losowa próba 25 obserwacji ma średnią 73,36. Przetestuj H₀: μ = 80 przeciw H₁: μ ≠ 80. Wyznacz wartość p p.

μ₀ = 80σ = 20n = 25x̄ = 73,36H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 25 z 100 pacjentów leczonych metodą A i 12 z 100 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 25n₁ = 100x₂ = 12n₂ = 100

z =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 21.

n = 5x = 21

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 10,41

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 248/6 = 41,33

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−5,333)² + (−6,333)² + (−11,33)² + 5,667² + (−0,3333)² + 17,67² = 541,3

Odchylenie standardowe

s = √(541,3/5) = 10,41

Odpowiedź

s = 10,41

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1,25

Standaryzuj

z = (68,75 − 50)/15 = 1,25

Odpowiedź

z = 1,25

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 35

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35

Odpowiedź

N = 35

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,3003

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,75⁹ = 0,07508

P(X = 1) = 9·0,25·0,75⁸ = 0,2253

Dodaj

P = 0,07508 + 0,2253 = 0,3003

Odpowiedź

P = 0,3003

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,5858

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (62 − 65)/10 = −0,3

z₂ = (83,5 − 65)/10 = 1,85

Pole pomiędzy

P = Φ(1,85) − Φ(−0,3) = 0,9678 − 0,3821 = 0,5858

Odpowiedź

P = 0,5858

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 75,33 pkt

z dla percentyla

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Powrót do x

x = 100 + −1,645·15 = 75,33 pkt

Odpowiedź

x = 75,33 pkt

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 47,28

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Margines błędu

E = 1,812·6/√11 = 3,278

Przedział

44 ± 3,278 → [40,72, 47,28]

Odpowiedź

górna granica = 47,28

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 171

Wyznacz n

n = (1,96·10/1,5)² = 170,7

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 171

Odpowiedź

n = 171

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: p = 0,09691

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statystyka testowa

SE = σ/√n = 20/√25 = 4

z = (73,36 − 80)/4 = −1,66

Pole ogona

Φ(1,66) = 0,9515

1 − Φ(1,66) = 0,0485

Wartość p

p = 2·0,0485 = 0,09691

Odpowiedź

p = 0,09691

p > 0,05, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 %.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = 2,367

Frakcje z prób

p̂₁ = 25/100 = 0,25

p̂₂ = 12/100 = 0,12

p̂ = 37/200 = 0,185

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,185·0,815·(1/100 + 1/100)) = 0,05491

Statystyka testowa

z = (0,25 − 0,12)/0,05491 = 2,367

Odpowiedź

z = 2,367

|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9757

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 550/6 = 91,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 422

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2607

Współczynnik determinacji

r² = 422²/(70·2607) = 0,9757

Odpowiedź

r² = 0,9757

Około 97,57% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 54,5

Średnie

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 223/5 = 44,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132

Prosta regresji

b = 132/40 = 3,3

a = 44,6 − 3,3·18 = −14,8

ŷ = −14,8 + 3,3·x

Prognoza

ŷ = −14,8 + 3,3·21 = 54,5

Odpowiedź

ŷ = 54,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1