Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 46, 29, 31, 52, 21, 52, 16.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży powyżej 186?

μ = 170σ = 8x = 186

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,3, 0,25, 0,2, 0,1

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 5X + 4. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 5X + 4

σ_Y =

5.Rozkład normalnyŚredni

Masy worków cementu są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 kg i odchyleniem standardowym 0,5 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 12 z nich przekroczy 297,4 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 12> 297,4 kg

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Wzrost X mężczyzn i wzrost Y kobiet w grupie są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 180 cm i odchylenie standardowe 10 cm, Y ma średnią 170 cm i odchylenie standardowe 12 cm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 21 elementów ma średnią 54 i odchylenie standardowe s = 14. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 21x̄ = 54s = 1499%t(20) = 2,845

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 6 poletek, średni plon 15,5 kg, odchylenie standardowe 1,5 kg. Grupa poletek 2: 8 poletek, średnia 9 kg, odchylenie standardowe 4,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 15,5s₁ = 1,5n₂ = 8x̄₂ = 9s₂ = 4,599%t(12) = 3,055

dolna granica = kg

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 25 studentów ma średni wynik 196,6 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 196,6s = 12n = 25

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 100 pomiarów ma średnią 75,9. Odchylenie standardowe populacji wynosi 10. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 99 % dla średniej.

x̄ = 75,9σ = 10n = 10099%

U =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5Σx = 25Σy = 329Σx² = 165Σy² = 22455Σxy = 1819

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (7, 93). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(7, 93)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,76

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 247/7 = 35,29

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 10,71² + (−6,286)² + (−4,286)² + 16,71² + (−14,29)² + 16,71² + (−19,29)² = 1307

Odchylenie standardowe

s = √(1307/6) = 14,76

Odpowiedź

s = 14,76

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,02275

Standaryzuj

z = 2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Odpowiedź

P = 0,02275

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 1,46

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 1·0,15 + 2·0,3 + 3·0,25 + 4·0,2 + 5·0,1 = 2,8

Średnia kwadratów

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,3 + 9·0,25 + 16·0,2 + 25·0,1 = 9,3

Wariancja

Var(X) = 9,3 − 2,8² = 1,46

Odpowiedź

Var(X) = 1,46

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 4,023

Rozrzut X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Zmiana liniowa

σ_Y = |5|·0,8047 = 4,023

Odpowiedź

σ_Y = 4,023

Średnia się przesuwa: E(Y) = 5·1,05 + 4 = 9,25.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9332

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 300 kg, σ_T = 0,5·√12 = 1,732 kg

Standaryzuj

z = (297,4 − 300)/1,732 = −1,5

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

Odpowiedź

P = 0,9332

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7389

Rozkład różnicy

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standaryzuj

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Odpowiedź

P = 0,7389

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 62,69

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Margines błędu

E = 2,845·14/√21 = 8,692

Przedział

54 ± 8,692 → [45,31, 62,69]

Odpowiedź

górna granica = 62,69

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 0,6087 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Łączne odchylenie standardowe

s_p² = (5·1,5² + 7·4,5²)/12 = 12,75

s_p = 3,571

Margines błędu

E = 3,055·3,571·√(1/6 + 1/8) = 5,891

Przedział

6,5 ± 5,891 → [0,6087, 12,39]

Odpowiedź

dolna granica = 0,6087 kg

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,417

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

Statystyka testowa

t = (196,6 − 200)/2,4 = −1,417

Odpowiedź

t = −1,417

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 78,48

Margines błędu

E = 2,576·10/√100 = 2,576

Granica przedziału

U = 75,9 + 2,576 = 78,48

Odpowiedź

U = 78,48

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9686

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 1819 − 25·329/5 = 174

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 22455 − 329²/5 = 806,8

Współczynnik korelacji

r = 174/√(40·806,8) = 0,9686

Odpowiedź

r = 0,9686

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 2,333

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 544/6 = 90,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 460

Prosta regresji

b = 460/70 = 6,571

a = 90,67 − 6,571·7 = 44,67

ŷ = 44,67 + 6,571·x

Wartość przewidywana

ŷ = 44,67 + 6,571·7 = 90,67

Reszta

e = 93 − 90,67 = 2,333

Odpowiedź

e = 2,333

Punkt leży nad prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1