Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 48, 12, 21, 50, 36.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 80.

μ = 60σ = 20x = 80

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,15, 0,1, 0,2, 0,35

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €1. Wygrywasz €4 z prawdopodobieństwem 0,2 i €50 z prawdopodobieństwem 0,05; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €1€4: p = 0,2€50: p = 0,05

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,0113. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,0113

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 60% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 65 pktσ = 10 pkt60%

x = pkt

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 8 elementów ma średnią 69 i odchylenie standardowe s = 9,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 8x̄ = 69s = 9,599%t(7) = 3,499

dolna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 16. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5?

σ = 16E = 0,590%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 100 studentów ma średni wynik 50,96 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 50,96s = 4n = 100

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 500 przeciw H₁: μ < 500 przeprowadza się na poziomie α = 0.05 na próbie o liczebności 64; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 8. W rzeczywistości średnia wynosi 496.8. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.

μ₀ = 500μ = 496,8σ = 8n = 64α = 0,05

1 − β = %

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 14?

n = 6ŷ = 14

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 16,64

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 167/5 = 33,4

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 14,6² + (−21,4)² + (−12,4)² + 16,6² + 2,6² = 1107

Odchylenie standardowe

s = √(1107/4) = 16,64

Odpowiedź

s = 16,64

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1

Standaryzuj

z = (80 − 60)/20 = 1

Odpowiedź

z = 1

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 1,558

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,2 + 1·0,15 + 2·0,1 + 3·0,2 + 4·0,35 = 2,35

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,15 + 4·0,1 + 9·0,2 + 16·0,35 = 7,95

Wariancja

Var(X) = 7,95 − 2,35² = 2,427

σ = √2,427 = 1,558

Odpowiedź

σ = 1,558

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 2,3 €

Wyniki netto

G: 3 (p = 0,2), 49 (p = 0,05), −1 (p = 0,75)

Wartość oczekiwana

E(G) = 3·0,2 + 49·0,05 − 1·0,75 = 2,3 €

Odpowiedź

E(G) = 2,3 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 2,28

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,0113 = 0,9887

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,9887 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 2,28

Odpowiedź

z = 2,28

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 67,5 pkt

Pole po lewej

Φ(z) = 0,6

z z tablicy

z ≈ 0,25

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 65 + 0,25·10 = 67,5 pkt

Odpowiedź

x = 67,5 pkt

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 57,25

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 7, t = 3,499

Margines błędu

E = 3,499·9,5/√8 = 11,75

Przedział

69 ± 11,75 → [57,25, 80,75]

Odpowiedź

dolna granica = 57,25

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 2771

Wyznacz n

n = (1,645·16/0,5)² = 2771

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 2771

Odpowiedź

n = 2771

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,4

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Statystyka testowa

t = (50,96 − 50)/0,4 = 2,4

Odpowiedź

t = 2,4

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: 1 − β = 94 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 8/√64 = 1

x̄_c = 500 − 1,645·1 = 498,4

z przy prawdziwej średniej

z = (498,4 − 496,8)/1 = 1,555

Moc

moc = P(Z < 1.555) = 94%

1 − β = 94%

Odpowiedź

1 − β = 94%

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9777

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 99/6 = 16,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 167

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 407,5

Współczynnik determinacji

r² = 167²/(70·407,5) = 0,9777

Odpowiedź

r² = 0,9777

Około 97,77% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 5,342

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 108/6 = 18

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38

Prosta regresji

b = −38/17,5 = −2,171

a = 18 − (−2,171)·3,5 = 25,6

ŷ = 25,6 − 2,171·x

Wyznacz x

x = (14 − 25,6)/(−2,171) = 5,342

Odpowiedź

x = 5,342

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1