Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 20, 27, 11, 45, 14.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 100. Jaka część P wartości leży poniżej 700?

μ = 500σ = 100x = 700

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,35, 0,35, 0,2

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €10. Wygrywasz €20 z prawdopodobieństwem 0,25 i €100 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €10€20: p = 0,25€100: p = 0,01

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,4108. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,4108

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 90% wszystkich wartości (90. percentyl).

μ = 250σ = 5P = 90%

x = g

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 9 elementów ma średnią 25,5 i odchylenie standardowe s = 2. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 9x̄ = 25,5s = 295%t(8) = 2,306

dolna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 32. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5?

σ = 32E = 2,590%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 14 uczniów, średni wynik 58,5, odchylenie standardowe 8. Grupa 2: 7 uczniów, średni wynik 54,8, odchylenie standardowe 5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 14x̄₁ = 58,5s₁ = 8n₂ = 7x̄₂ = 54,8s₂ = 5

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 16 pomiarów ma średnią 77,8. Odchylenie standardowe populacji wynosi 5. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 90 % dla średniej.

x̄ = 77,8σ = 5n = 1690%

L =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5Σx = 15Σy = 99Σx² = 55Σy² = 2003Σxy = 277

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (9, 31). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(9, 31)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 13,54

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 117/5 = 23,4

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−3,4)² + 3,6² + (−12,4)² + 21,6² + (−9,4)² = 733,2

Odchylenie standardowe

s = √(733,2/4) = 13,54

Odpowiedź

s = 13,54

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9772

Standaryzuj

z = 2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Odpowiedź

P = 0,9772

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 1,819

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,1 + 2·0,35 + 4·0,35 + 6·0,2 = 3,3

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,1 + 4·0,35 + 16·0,35 + 36·0,2 = 14,2

Wariancja

Var(X) = 14,2 − 3,3² = 3,31

σ = √3,31 = 1,819

Odpowiedź

σ = 1,819

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = −4 €

Wyniki netto

G: 10 (p = 0,25), 90 (p = 0,01), −10 (p = 0,74)

Wartość oczekiwana

E(G) = 10·0,25 + 90·0,01 − 10·0,74 = −4 €

Odpowiedź

E(G) = −4 €

Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 0,54

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,4108)/2 = 0,7054

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,7054 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 0,54

Odpowiedź

z = 0,54

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 256,4 g

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Powrót do x

x = 250 + 1,282·5 = 256,41 g

Odpowiedź

x = 256,41 g

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 23,96

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Margines błędu

E = 2,306·2/√9 = 1,537

Przedział

25,5 ± 1,537 → [23,96, 27,04]

Odpowiedź

dolna granica = 23,96

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 444

Wyznacz n

n = (1,645·32/2,5)² = 443,4

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 444

Odpowiedź

n = 444

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,112

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (13·8² + 6·5²)/19 = 51,68

s_p = 7,189

Błąd standardowy

SE = 7,189·√(1/14 + 1/7) = 3,328

Statystyka testowa

t = (58,5 − 54,8)/3,328 = 1,112

Odpowiedź

t = 1,112

Przy df = 19 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,093; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 75,74

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 1,645·5/√16 = 2,056

Granica przedziału

L = 77,8 − 2,056 = 75,74

Odpowiedź

L = 75,74

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,9667

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 277 − 15·99/5 = −20

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2003 − 99²/5 = 42,8

Współczynnik korelacji

r = −20/√(10·42,8) = −0,9667

Odpowiedź

r = −0,9667

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = −2,9

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 159/6 = 26,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 259

Prosta regresji

b = 259/70 = 3,7

a = 26,5 − 3,7·7 = 0,6

ŷ = 0,6 + 3,7·x

Wartość przewidywana

ŷ = 0,6 + 3,7·9 = 33,9

Reszta

e = 31 − 33,9 = −2,9

Odpowiedź

e = −2,9

Punkt leży pod prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1