Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 57, 34, 28, 34, 29, 31.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 50. Jaka część P wartości leży poniżej 400?

μ = 500σ = 50x = 400

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 2 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 2

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 2X + 4. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 2X + 4

σ_Y =

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,1539. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,1539

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 85% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 500 hσ = 40 h85%

x = h

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 15 elementów ma średnią 83,5 i odchylenie standardowe s = 17,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 15x̄ = 83,5s = 17,590%t(14) = 1,761

E =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 36. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 4?

σ = 36E = 499%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 60 części ma średnią długość 89,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 15 mm. Linia 2: próba 50 części ma średnią 91,4 mm, znane odchylenie standardowe 14 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).

n₁ = 60x̄₁ = 89,5 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 50x̄₂ = 91,4 mmσ₂ = 14 mm

z =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 64 pomiarów ma średnią 101,2. Odchylenie standardowe populacji wynosi 4. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.

x̄ = 101,2σ = 4n = 6490%

U =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 3,5.

n = 5x = 3,5

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 10,82

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 213/6 = 35,5

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 21,5² + (−1,5)² + (−7,5)² + (−1,5)² + (−6,5)² + (−4,5)² = 585,5

Odchylenie standardowe

s = √(585,5/5) = 10,82

Odpowiedź

s = 10,82

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,02275

Standaryzuj

z = −2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Odpowiedź

P = 0,02275

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,3056

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Odpowiedź

P = 0,3056

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 1,673

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Rozrzut X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Zmiana liniowa

σ_Y = |2|·0,8367 = 1,673

Odpowiedź

σ_Y = 1,673

Średnia się przesuwa: E(Y) = 2·1 + 4 = 6.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,02

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,1539 = 0,8461

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,8461 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,02

Odpowiedź

z = 1,02

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 542 h

Pole po lewej

Φ(z) = 0,85

z z tablicy

z ≈ 1,04

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 500 + 1,04·40 = 542 h

Odpowiedź

x = 542 h

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 7,957

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 14, t = 1,761

Margines błędu

E = 1,761·17,5/√15 = 7,957

Odpowiedź

E = 7,957

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 538

Wyznacz n

n = (2,576·36/4)² = 537,5

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 538

Odpowiedź

n = 538

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −0,6861

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Błąd standardowy różnicy

SE = √(15²/60 + 14²/50) = √7,67 = 2,769

Statystyka testowa

z = (89,5 − 91,4)/2,769 = −0,6861

Odpowiedź

z = −0,6861

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 102

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 1,645·4/√64 = 0,8225

Granica przedziału

U = 101,2 + 0,8225 = 102

Odpowiedź

U = 102

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9685

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 363/6 = 60,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 592,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2302

Współczynnik determinacji

r² = 592,5²/(157,5·2302) = 0,9685

Odpowiedź

r² = 0,9685

Około 96,85% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 43,4

Średnie

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 225/5 = 45

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 32

Prosta regresji

b = 32/10 = 3,2

a = 45 − 3,2·4 = 32,2

ŷ = 32,2 + 3,2·x

Prognoza

ŷ = 32,2 + 3,2·3,5 = 43,4

Odpowiedź

ŷ = 43,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1