Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 42, 20, 57, 46, 48.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży poniżej 210?

μ = 170σ = 20x = 210

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,2, 0,35, 0,1

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €10. Wygrywasz €30 z prawdopodobieństwem 0,25 i €100 z prawdopodobieństwem 0,05; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €10€30: p = 0,25€100: p = 0,05

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

Masy śrub są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 40 g i odchyleniem standardowym 1,2 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 6 z nich przekroczy 242,9 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 6> 242,9 g

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,04 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,01 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 12 elementów ma średnią 47 i odchylenie standardowe s = 16,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 12x̄ = 47s = 16,595%t(11) = 2,201

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 24. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 4?

σ = 24E = 499%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 49 studentów ma średni wynik 118,1 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118,1s = 15n = 49

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5? Odchylenie standardowe wynosi 20. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 20E = 1,590%

n =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (1,5, 47). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 47)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 13,78

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 213/5 = 42,6

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−0,6)² + (−22,6)² + 14,4² + 3,4² + 5,4² = 759,2

Odchylenie standardowe

s = √(759,2/4) = 13,78

Odpowiedź

s = 13,78

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9772

Standaryzuj

z = 2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Odpowiedź

P = 0,9772

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 1,03

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 1·0,35 + 2·0,2 + 3·0,35 + 4·0,1 = 2,2

Średnia kwadratów

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,2 + 9·0,35 + 16·0,1 = 5,9

Wariancja

Var(X) = 5,9 − 2,2² = 1,06

σ = √1,06 = 1,03

Odpowiedź

σ = 1,03

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 2,5 €

Wyniki netto

G: 20 (p = 0,25), 90 (p = 0,05), −10 (p = 0,7)

Wartość oczekiwana

E(G) = 20·0,25 + 90·0,05 − 10·0,7 = 2,5 €

Odpowiedź

E(G) = 2,5 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,1611

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 240 g, σ_T = 1,2·√6 = 2,939 g

Standaryzuj

z = (242,9 − 240)/2,939 = 0,99

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(0,99) = 0,1611

Odpowiedź

P = 0,1611

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9633

Rozkład różnicy

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633

Odpowiedź

P = 0,9633

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 57,48

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Margines błędu

E = 2,201·16,5/√12 = 10,48

Przedział

47 ± 10,48 → [36,52, 57,48]

Odpowiedź

górna granica = 57,48

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 239

Wyznacz n

n = (2,576·24/4)² = 238,9

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 239

Odpowiedź

n = 239

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −0,8867

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

Statystyka testowa

t = (118,1 − 120)/2,143 = −0,8867

Odpowiedź

t = −0,8867

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 482

Wyznacz n

n = (1,645·20/1,5)² = 481,1

Zaokrąglij w górę

n = 482

Odpowiedź

n = 482

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9954

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 355/6 = 59,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 271

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1059

Współczynnik korelacji

r = 271/√(70·1059) = 0,9954

Odpowiedź

r = 0,9954

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 2,4

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 253/5 = 50,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 40

Prosta regresji

b = 40/10 = 4

a = 50,6 − 4·3 = 38,6

ŷ = 38,6 + 4·x

Wartość przewidywana

ŷ = 38,6 + 4·1,5 = 44,6

Reszta

e = 47 − 44,6 = 2,4

Odpowiedź

e = 2,4

Punkt leży nad prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1