Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 45, 40, 50, 41, 37, 46, 27.
n = 7
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży powyżej 42?
μ = 50σ = 10x = 42
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 8 kul czerwonych i 5 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
8 / 5
P =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 6 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,6. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 6p = 0,6
P =
5.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Jaka część wartości leży między 20 a 33,5 min? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 32σ = 6x1 = 20x2 = 33,5
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
Masa X produktu z linii 1 i masa Y produktu z linii 2 są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 500 g i odchylenie standardowe 8 g, Y ma średnią 490 g i odchylenie standardowe 6 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 40 telefonów, średnia 118 h, znane odchylenie standardowe 8 h. Model 2: 100 telefonów, średnia 131 h, znane odchylenie standardowe 9 h. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
n₁ = 40x̄₁ = 118 hσ₁ = 8 hn₂ = 100x̄₂ = 131 hσ₂ = 9 h90%
górna granica = h
8.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 25 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 9 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 24 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 12,401, a 2,5 % powyżej 39,364.
n = 25s = 9 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
20 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 1,94, a odchylenie standardowe różnic 6,2. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
n = 20d̄ = 1,94sd = 6,2
t =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 49 pomiarów ma średnią 98,7. Odchylenie standardowe populacji wynosi 4. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.
x̄ = 98,7σ = 4n = 4990%
U =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 5
r² =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (6, 82). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 6(6, 82)
e =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 7,471
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 286/7 = 40,86
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 4,143² + (−0,8571)² + 9,143² + 0,1429² + (−3,857)² + 5,143² + (−13,86)² = 334,9
Odchylenie standardowe
s = √(334,9/6) = 7,471
Odpowiedź
s = 7,471
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,7881
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −0,8
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Odpowiedź
P = 0,7881
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,359
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 8/13 · 7/12 = 56/156 = 0,359
Odpowiedź
P = 0,359
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,04096
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,46 = 0,004096
P(X = 1) = 6·0,6·0,45 = 0,03686
Dodaj
P = 0,004096 + 0,03686 = 0,04096
Odpowiedź
P = 0,04096
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,576
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (20 − 32)/6 = −2
z₂ = (33,5 − 32)/6 = 0,25
Pole pomiędzy
P = Φ(0,25) − Φ(−2) = 0,5987 − 0,02275 = 0,576
Odpowiedź
P = 0,576
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,8413
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standaryzuj
z = (0 − 10)/10 = −1
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Odpowiedź
P = 0,8413
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = −10,45 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 118 − 131 = −13
Błąd standardowy
SE = √(8²/40 + 9²/100) = 1,552
Margines błędu
E = 1,645·1,552 = 2,554
Przedział
−13 ± 2,554 → [−15,55, −10,45]
Odpowiedź
górna granica = −10,45 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 7,027 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 24·9² = 1944
Granice dla σ²
1944/39,364 = 49,39
1944/12,401 = 156,8
Granica dla σ
σ = √49,39 = 7,027 µm
Odpowiedź
σ = 7,027 µm
Przedział 95 % dla σ: [7,027, 12,52] µm.
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 1,399
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Błąd standardowy średniej różnicy
SE = 6,2/√20 = 1,386
Statystyka testowa
t = 1,94/1,386 = 1,399
Odpowiedź
t = 1,399
Przy df = 19 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,093; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 99,64
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,645·4/√49 = 0,94
Granica przedziału
U = 98,7 + 0,94 = 99,64
Odpowiedź
U = 99,64
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9666
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 336/5 = 67,2
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 186
Syy = Σ(y − ȳ)² = 894,8
Współczynnik determinacji
r² = 186²/(40·894,8) = 0,9666
Odpowiedź
r² = 0,9666
Około 96,66% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = 4,833
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 463/6 = 77,17
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 317
Prosta regresji
b = 317/70 = 4,529
a = 77,17 − 4,529·6 = 50
ŷ = 50 + 4,529·x
Wartość przewidywana
ŷ = 50 + 4,529·6 = 77,17
Reszta
e = 82 − 77,17 = 4,833
Odpowiedź
e = 4,833
Punkt leży nad prostą.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1