Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 36, 25, 26, 40, 37, 13.
n = 6
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży powyżej 60?
μ = 50σ = 8x = 60
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 3 osób z grupy 6 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 6k = 3
N =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 5 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,1, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?
n = 5p = 0,1k = 3
P =
5.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Jaka część wartości leży między 27,2 a 41 min? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 32σ = 6x1 = 27,2x2 = 41
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 95% wszystkich wartości (95. percentyl).
μ = 100σ = 15P = 95%
x = pkt
7.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 80 telefonów, średnia 99 h, znane odchylenie standardowe 13 h. Model 2: 80 telefonów, średnia 110 h, znane odchylenie standardowe 12 h. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
n₁ = 80x̄₁ = 99 hσ₁ = 13 hn₂ = 80x̄₂ = 110 hσ₂ = 12 h90%
górna granica = h
8.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 8 poletek, średni plon 47,5 kg, odchylenie standardowe 6,5 kg. Grupa poletek 2: 13 poletek, średnia 45 kg, odchylenie standardowe 6,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
n₁ = 8x̄₁ = 47,5s₁ = 6,5n₂ = 13x̄₂ = 45s₂ = 6,590%t(19) = 1,729
górna granica = kg
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 14 uczniów, średni wynik 69,5, odchylenie standardowe 11,5. Grupa 2: 12 uczniów, średni wynik 62,7, odchylenie standardowe 5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).
n₁ = 14x̄₁ = 69,5s₁ = 11,5n₂ = 12x̄₂ = 62,7s₂ = 5
t =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z dla H₀: μ = 200 przeciw H₁: μ < 200 przeprowadza się na poziomie α = 0.05 na próbie o liczebności 64; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 4. W rzeczywistości średnia wynosi 198.45. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.
μ₀ = 200μ = 198,45σ = 4n = 64α = 0,05
1 − β = %
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5Σx = 30Σy = 105Σx² = 220Σy² = 2561Σxy = 748
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 38?
n = 5ŷ = 38
x =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 10,13
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 177/6 = 29,5
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 6,5² + (−4,5)² + (−3,5)² + 10,5² + 7,5² + (−16,5)² = 513,5
Odchylenie standardowe
s = √(513,5/5) = 10,13
Odpowiedź
s = 10,13
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,1056
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 1,25
Tablica rozkładu normalnego
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Odpowiedź
P = 0,1056
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 20
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20
Odpowiedź
N = 20
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,0081
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Wzór dwumianowy
P(X = 3) = 10·0,13·0,92 = 10·0,001·0,81 = 0,0081
Odpowiedź
P = 0,0081
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,7213
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (27,2 − 32)/6 = −0,8
z₂ = (41 − 32)/6 = 1,5
Pole pomiędzy
P = Φ(1,5) − Φ(−0,8) = 0,9332 − 0,2119 = 0,7213
Odpowiedź
P = 0,7213
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 124,7 pkt
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
Powrót do x
x = 100 + 1,645·15 = 124,67 pkt
Odpowiedź
x = 124,67 pkt
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = −7,746 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 99 − 110 = −11
Błąd standardowy
SE = √(13²/80 + 12²/80) = 1,978
Margines błędu
E = 1,645·1,978 = 3,254
Przedział
−11 ± 3,254 → [−14,25, −7,746]
Odpowiedź
górna granica = −7,746 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 7,55 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (7·6,5² + 12·6,5²)/19 = 42,25
sp = 6,5
Margines błędu
E = 1,729·6,5·√(1/8 + 1/13) = 5,05
Przedział
2,5 ± 5,05 → [−2,55, 7,55]
Odpowiedź
górna granica = 7,55 kg
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 1,896
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Wariancja łączna
sp² = (13·11,5² + 11·5²)/24 = 83,09
sp = 9,116
Błąd standardowy
SE = 9,116·√(1/14 + 1/12) = 3,586
Statystyka testowa
t = (69,5 − 62,7)/3,586 = 1,896
Odpowiedź
t = 1,896
Przy df = 24 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,064; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: 1 − β = 92,72 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Krytyczna średnia z próby
SE = 4/√64 = 0,5
x̄c = 200 − 1,645·0,5 = 199,2
z przy prawdziwej średniej
z = (199,2 − 198,45)/0,5 = 1,455
Moc
moc = P(Z < 1.455) = 92.72%
1 − β = 92,72%
Odpowiedź
1 − β = 92,72%
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9888
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 748 − 30·105/5 = 118
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 2561 − 105²/5 = 356
Współczynnik korelacji
r = 118/√(40·356) = 0,9888
Odpowiedź
r = 0,9888
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 8,149
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 153/5 = 30,6
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94
Prosta regresji
b = 94/40 = 2,35
a = 30,6 − 2,35·5 = 18,85
ŷ = 18,85 + 2,35·x
Wyznacz x
x = (38 − 18,85)/2,35 = 8,149
Odpowiedź
x = 8,149
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1