Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 10, 32, 49, 19, 57.
n = 5
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży powyżej 190?
μ = 170σ = 20x = 190
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 3 osób z grupy 9 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 9k = 3
N =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 11 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,7, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 5 poprawnych odpowiedzi?
n = 11p = 0,7k = 5
P =
5.Rozkład normalnyŚredni
Masy pasażerów z bagażem są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 85 kg i odchyleniem standardowym 12 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 5 z nich przekroczy 478,7 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 478,7 kg
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
Masa X produktu z linii 1 i masa Y produktu z linii 2 są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 500 g i odchylenie standardowe 8 g, Y ma średnią 490 g i odchylenie standardowe 6 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Przedziały ufnościŚredni
Próba 16 elementów ma średnią 94 i odchylenie standardowe s = 9. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 16x̄ = 94s = 990%t(15) = 1,753
dolna granica =
8.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 21 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 4,7 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 20 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 9,591, a 2,5 % powyżej 34,17.
n = 21s = 4,7 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 50 części ma średnią długość 49,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 12 mm. Linia 2: próba 60 części ma średnią 46,2 mm, znane odchylenie standardowe 7 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).
n₁ = 50x̄₁ = 49,5 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 60x̄₂ = 46,2 mmσ₂ = 7 mm
z =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 95 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5? Odchylenie standardowe wynosi 15. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 15E = 0,595%
n =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6Σx = 36Σy = 476Σx² = 286Σy² = 39798Σxy = 3228
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 3,5.
n = 5x = 3,5
ŷ =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 19,73
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 167/5 = 33,4
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = (−23,4)² + (−1,4)² + 15,6² + (−14,4)² + 23,6² = 1557
Odchylenie standardowe
s = √(1557/4) = 19,73
Odpowiedź
s = 19,73
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,1587
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 1
Tablica rozkładu normalnego
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Odpowiedź
P = 0,1587
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 84
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(9, 3) = (9·8·7)/(3·2·1) = 84
Odpowiedź
N = 84
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,05661
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Wzór dwumianowy
P(X = 5) = 462·0,75·0,36 = 462·0,1681·0,000729 = 0,05661
Odpowiedź
P = 0,05661
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,02275
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy całkowitej
μT = 425 kg, σT = 12·√5 = 26,83 kg
Standaryzuj
z = (478,7 − 425)/26,83 = 2
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(2) = 0,02275
Odpowiedź
P = 0,02275
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,8413
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standaryzuj
z = (0 − 10)/10 = −1
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Odpowiedź
P = 0,8413
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 90,06
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 15, t = 1,753
Margines błędu
E = 1,753·9/√16 = 3,944
Przedział
94 ± 3,944 → [90,06, 97,94]
Odpowiedź
dolna granica = 90,06
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 6,787 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 20·4,7² = 441,8
Granice dla σ²
441,8/34,17 = 12,93
441,8/9,591 = 46,06
Granica dla σ
σ = √46,06 = 6,787 µm
Odpowiedź
σ = 6,787 µm
Przedział 95 % dla σ: [3,596, 6,787] µm.
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 1,716
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Błąd standardowy różnicy
SE = √(12²/50 + 7²/60) = √3,697 = 1,923
Statystyka testowa
z = (49,5 − 46,2)/1,923 = 1,716
Odpowiedź
z = 1,716
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 3458
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (1,96·15/0,5)² = 3457
Zaokrąglij w górę
n = 3458
Odpowiedź
n = 3458
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9855
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 3228 − 36·476/6 = 372
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 39798 − 476²/6 = 2035
Współczynnik korelacji
r = 372/√(70·2035) = 0,9855
Odpowiedź
r = 0,9855
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 16,7
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 89/5 = 17,8
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Prosta regresji
b = −22/10 = −2,2
a = 17,8 − (−2,2)·3 = 24,4
ŷ = 24,4 − 2,2·x
Prognoza
ŷ = 24,4 + (−2,2)·3,5 = 16,7
Odpowiedź
ŷ = 16,7
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1