Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 56, 53, 35, 26, 50, 28.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży poniżej 50,4?

μ = 60σ = 8x = 50,4

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,05, 0,3, 0,3

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €1. Wygrywasz €4 z prawdopodobieństwem 0,1 i €10 z prawdopodobieństwem 0,05; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €1€4: p = 0,1€10: p = 0,05

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,0150. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,0150

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,05 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 20 elementów ma średnią 37 i odchylenie standardowe s = 9. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 20x̄ = 37s = 995%t(19) = 2,093

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 21. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5?

σ = 21E = 0,590%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 16 studentów ma średni wynik 500,7 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 500,7s = 4n = 16

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 4 jednostek z mocą 80 %. Odchylenie standardowe wynosi 14. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,05moc = 80%δ = 4σ = 14z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 65?

n = 5ŷ = 65

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 13,26

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 248/6 = 41,33

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 14,67² + 11,67² + (−6,333)² + (−15,33)² + 8,667² + (−13,33)² = 879,3

Odchylenie standardowe

s = √(879,3/5) = 13,26

Odpowiedź

s = 13,26

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,1151

Standaryzuj

z = −1,2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Odpowiedź

P = 0,1151

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 12,44

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 10·0,35 + 20·0,05 + 30·0,3 + 40·0,3 = 25,5

Średnia kwadratów

E(X²) = 100·0,35 + 400·0,05 + 900·0,3 + 1600·0,3 = 805

Wariancja

Var(X) = 805 − 25,5² = 154,8

σ = √154,8 = 12,44

Odpowiedź

σ = 12,44

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = −0,1 €

Wyniki netto

G: 3 (p = 0,1), 9 (p = 0,05), −1 (p = 0,85)

Wartość oczekiwana

E(G) = 3·0,1 + 9·0,05 − 1·0,85 = −0,1 €

Odpowiedź

E(G) = −0,1 €

Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 2,17

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,0150 = 0,9850

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,9850 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 2,17

Odpowiedź

z = 2,17

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9772

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,05)/0,025 = −2

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−2) = 0,9772

Odpowiedź

P = 0,9772

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 41,21

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 19, t = 2,093

Margines błędu

E = 2,093·9/√20 = 4,212

Przedział

37 ± 4,212 → [32,79, 41,21]

Odpowiedź

górna granica = 41,21

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 4774

Wyznacz n

n = (1,645·21/0,5)² = 4773

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 4774

Odpowiedź

n = 4774

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 0,7

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 4/√16 = 4/4 = 1

Statystyka testowa

t = (500,7 − 500)/1 = 0,7

Odpowiedź

t = 0,7

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 76

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((1,645 + 0,842)·14/4)² = 75,77

Zaokrąglij w górę

n = 76

Odpowiedź

n = 76

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9761

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 273/5 = 54,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 44

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 203,2

Współczynnik korelacji

r = 44/√(10·203,2) = 0,9761

Odpowiedź

r = 0,9761

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 5,097

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 346/5 = 69,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 186

Prosta regresji

b = 186/40 = 4,65

a = 69,2 − 4,65·6 = 41,3

ŷ = 41,3 + 4,65·x

Wyznacz x

x = (65 − 41,3)/4,65 = 5,097

Odpowiedź

x = 5,097

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1