Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 44, 59, 15, 11, 13, 19, 14.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 40.

μ = 50σ = 20x = 40

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 8 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 8

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 11 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,2, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 1 poprawnych odpowiedzi?

n = 11p = 0,2k = 1

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,9049. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,9049

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 20% wszystkich wartości (20. percentyl).

μ = 178σ = 7P = 20%

x = cm

7.Przedziały ufnościŚredni

Przedział ufności 90 % dla średniej, oparty na 64 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 1,4. Jaki jest margines błędu E₂ przedziału 95 % opartego na 256 obserwacjach?

90%n₁ = 64E₁ = 1,495%n₂ = 256

E₂ =

8.Przedziały ufnościTrudny

Badanie pilotażowe sugeruje, że wadliwych jest około 0,4 produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 95 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,03?

p ≈ 0,4E = 0,0395%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 25 studentów ma średni wynik 121,2 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121,2s = 5n = 25

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 95 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1? Odchylenie standardowe wynosi 20. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 20E = 195%

n =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5Σx = 115Σy = 461Σx² = 2735Σy² = 44045Σxy = 10969

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 11?

n = 5ŷ = 11

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 18,77

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 175/7 = 25

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 19² + 34² + (−10)² + (−14)² + (−12)² + (−6)² + (−11)² = 2114

Odchylenie standardowe

s = √(2114/6) = 18,77

Odpowiedź

s = 18,77

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −0,5

Standaryzuj

z = (40 − 50)/20 = −0,5

Odpowiedź

z = −0,5

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,7674

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Odpowiedź

P = 0,7674

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2362

Wzór dwumianowy

P(X = 1) = 11·0,2¹·0,8¹⁰ = 11·0,2·0,1074 = 0,2362

Odpowiedź

P = 0,2362

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = −1,31

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,9049 = 0,0951

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,0951 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = −1,31

Odpowiedź

z = −1,31

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 172,1 cm

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Powrót do x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Odpowiedź

x = 172,11 cm

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E₂ = 0,834

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Stosunek marginesów

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(64/256) = 0,5957

Nowy margines

E₂ = 1,4·0,5957 = 0,834

Odpowiedź

E₂ = 0,834

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1025

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Wyznacz n

n = 1,96²·0,4·0,6/0,03² = 1024

Zaokrąglij w górę

n = 1025

Odpowiedź

n = 1025

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,2

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Statystyka testowa

t = (121,2 − 120)/1 = 1,2

Odpowiedź

t = 1,2

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1537

Wyznacz n

n = (1,96·20/1)² = 1537

Zaokrąglij w górę

n = 1537

Odpowiedź

n = 1537

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9828

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 10969 − 115·461/5 = 366

S_xx = 2735 − 115²/5 = 90

S_yy = 44045 − 461²/5 = 1541

Współczynnik korelacji

r = 366/√(90·1541) = 0,9828

Odpowiedź

r = 0,9828

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 7,273

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 48/5 = 9,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 44

Prosta regresji

b = 44/40 = 1,1

a = 9,6 − 1,1·6 = 3

ŷ = 3 + 1,1·x

Wyznacz x

x = (11 − 3)/1,1 = 7,273

Odpowiedź

x = 7,273

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1