Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 10, 56, 43, 15, 54, 18.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży powyżej 52?

μ = 50σ = 5x = 52

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,2, 0,3, 0,15

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 10X + 1. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,15, 0,3, 0,25Y = 10X + 1

σ_Y =

5.Rozkład normalnyŚredni

Masy pudeł są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 12 kg i odchyleniem standardowym 0,8 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 6 z nich będzie mniejsza niż 75,9 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 6< 75.9 kg

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 97,5% wszystkich wartości (97,5. percentyl).

μ = 250σ = 5P = 97,5%

x = g

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 21 elementów ma średnią 60,5 i odchylenie standardowe s = 2. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 21x̄ = 60,5s = 290%t(20) = 1,725

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 21. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?

σ = 21E = 1,599%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 25 studentów ma średni wynik 82,2 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 82,2s = 15n = 25

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 90 z 150 pacjentów leczonych metodą A i 192 z 300 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 90n₁ = 150x₂ = 192n₂ = 300

z =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 7.

n = 5x = 7

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 20,72

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 196/6 = 32,67

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−22,67)² + 23,33² + 10,33² + (−17,67)² + 21,33² + (−14,67)² = 2147

Odchylenie standardowe

s = √(2147/5) = 20,72

Odpowiedź

s = 20,72

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,3446

Standaryzuj

z = 0,4

Tablica rozkładu normalnego

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Odpowiedź

P = 0,3446

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 1,09

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,35 + 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,15 = 1,25

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,15 = 2,75

Wariancja

Var(X) = 2,75 − 1,25² = 1,188

σ = √1,188 = 1,09

Odpowiedź

σ = 1,09

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 23,24

Rozrzut X

μ = 3, Var(X) = 5,4, σ_X = 2,324

Zmiana liniowa

σ_Y = |10|·2,324 = 23,24

Odpowiedź

σ_Y = 23,24

Średnia się przesuwa: E(Y) = 10·3 + 1 = 31.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9767

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 72 kg, σ_T = 0,8·√6 = 1,96 kg

Standaryzuj

z = (75,9 − 72)/1,96 = 1,99

Prawdopodobieństwo

P = Φ(1,99) = 0,9767

Odpowiedź

P = 0,9767

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 259,8 g

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Powrót do x

x = 250 + 1,96·5 = 259,8 g

Odpowiedź

x = 259,8 g

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 61,25

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Margines błędu

E = 1,725·2/√21 = 0,7529

Przedział

60,5 ± 0,7529 → [59,75, 61,25]

Odpowiedź

górna granica = 61,25

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1301

Wyznacz n

n = (2,576·21/1,5)² = 1301

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 1301

Odpowiedź

n = 1301

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,4

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

Statystyka testowa

t = (82,2 − 75)/3 = 2,4

Odpowiedź

t = 2,4

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −0,827

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Frakcje z prób

p̂₁ = 90/150 = 0,6

p̂₂ = 192/300 = 0,64

p̂ = 282/450 = 0,6267

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,6267·0,3733·(1/150 + 1/300)) = 0,04837

Statystyka testowa

z = (0,6 − 0,64)/0,04837 = −0,827

Odpowiedź

z = −0,827

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9774

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 321/5 = 64,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 686,8

Współczynnik korelacji

r = 162/√(40·686,8) = 0,9774

Odpowiedź

r = 0,9774

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 64,35

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 293/5 = 58,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 230

Prosta regresji

b = 230/40 = 5,75

a = 58,6 − 5,75·6 = 24,1

ŷ = 24,1 + 5,75·x

Prognoza

ŷ = 24,1 + 5,75·7 = 64,35

Odpowiedź

ŷ = 64,35

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1