Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 19, 46, 38, 12, 58, 41, 47.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 12. Jaka część P wartości leży powyżej 164?

μ = 170σ = 12x = 164

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 2 osób z grupy 13 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 13k = 2

N =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 8 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,1, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 5 poprawnych odpowiedzi?

n = 8p = 0,1k = 5

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Jaka część wartości leży między 30,5 a 39,2 min? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 32σ = 6x₁ = 30,5x₂ = 39,2

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 90% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 500 hσ = 40 h90%

x = h

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 15 elementów ma średnią 64 i odchylenie standardowe s = 6. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 15x̄ = 64s = 699%t(14) = 2,977

dolna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 21 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 0,9 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 20 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 9,591, a 2,5 % powyżej 34,17.

n = 21s = 0,9 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 25 studentów ma średni wynik 115,6 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 115,6s = 10n = 25

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 49 pomiarów ma średnią 499,7. Odchylenie standardowe populacji wynosi 5. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 499,7σ = 5n = 4995%

U =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 16,27

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 261/7 = 37,29

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−18,29)² + 8,714² + 0,7143² + (−25,29)² + 20,71² + 3,714² + 9,714² = 1587

Odchylenie standardowe

s = √(1587/6) = 16,27

Odpowiedź

s = 16,27

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,6915

Standaryzuj

z = −0,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Odpowiedź

P = 0,6915

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 78

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(13, 2) = (13·12)/(2·1) = 78

Odpowiedź

N = 78

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,0004082

Wzór dwumianowy

P(X = 5) = 56·0,1⁵·0,9³ = 56·1 × 10⁻⁵·0,729 = 0,0004082

Odpowiedź

P = 0,0004082

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,4836

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25

z₂ = (39,2 − 32)/6 = 1,2

Pole pomiędzy

P = Φ(1,2) − Φ(−0,25) = 0,8849 − 0,4013 = 0,4836

Odpowiedź

P = 0,4836

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 449 h

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,1

z z tablicy

z ≈ −1,28

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 500 − 1,28·40 = 449 h

Odpowiedź

x = 449 h

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 59,39

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Margines błędu

E = 2,977·6/√15 = 4,612

Przedział

64 ± 4,612 → [59,39, 68,61]

Odpowiedź

dolna granica = 59,39

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 0,6885 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 20·0,9² = 16,2

Granice dla σ²

16,2/34,17 = 0,4741

16,2/9,591 = 1,689

Granica dla σ

σ = √0,4741 = 0,6885 µm

Odpowiedź

σ = 0,6885 µm

Przedział 95 % dla σ: [0,6885, 1,3] µm.

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −2,2

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Statystyka testowa

t = (115,6 − 120)/2 = −2,2

Odpowiedź

t = −2,2

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 501,1

Margines błędu

E = 1,96·5/√49 = 1,4

Granica przedziału

U = 499,7 + 1,4 = 501,1

Odpowiedź

U = 501,1

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9498

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 102/6 = 17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −55

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 182

Współczynnik determinacji

r² = −55²/(17,5·182) = 0,9498

Odpowiedź

r² = 0,9498

Około 94,98% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 65,4

Średnie

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 313/5 = 62,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56

Prosta regresji

b = 56/10 = 5,6

a = 62,6 − 5,6·4 = 40,2

ŷ = 40,2 + 5,6·x

Prognoza

ŷ = 40,2 + 5,6·4,5 = 65,4

Odpowiedź

ŷ = 65,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1