Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 34, 54, 46, 36, 39.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 8. Wyznacz wynik z z dla wyniku 80.

μ = 70σ = 8x = 80

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,3, 0,35, 0,2

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 11 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,6. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 11p = 0,6

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,9826. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,9826

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,04 mm i odchyleniem standardowym 0,01 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 8 elementów ma średnią 83,5 i odchylenie standardowe s = 17,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 8x̄ = 83,5s = 17,590%t(7) = 1,895

dolna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 20. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?

σ = 20E = 1,595%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 49 studentów ma średni wynik 98,51 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,51s = 4n = 49

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 49 pomiarów ma średnią 202,1. Odchylenie standardowe populacji wynosi 12. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 99 % dla średniej.

x̄ = 202,1σ = 12n = 4999%

U =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (3, 18). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(3, 18)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 8,198

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 209/5 = 41,8

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−7,8)² + 12,2² + 4,2² + (−5,8)² + (−2,8)² = 268,8

Odchylenie standardowe

s = √(268,8/4) = 8,198

Odpowiedź

s = 8,198

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1,25

Standaryzuj

z = (80 − 70)/8 = 1,25

Odpowiedź

z = 1,25

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 0,9695

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 1·0,15 + 2·0,3 + 3·0,35 + 4·0,2 = 2,6

Średnia kwadratów

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,3 + 9·0,35 + 16·0,2 = 7,7

Wariancja

Var(X) = 7,7 − 2,6² = 0,94

σ = √0,94 = 0,9695

Odpowiedź

σ = 0,9695

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,000734

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,4¹¹ = 4,194 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 11·0,6·0,4¹⁰ = 0,0006921

Dodaj

P = 4,194 × 10⁻⁵ + 0,0006921 = 0,000734

Odpowiedź

P = 0,000734

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = −2,11

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,9826 = 0,0174

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,0174 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = −2,11

Odpowiedź

z = −2,11

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9868

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868

Odpowiedź

P = 0,9868

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 71,78

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 7, t = 1,895

Margines błędu

E = 1,895·17,5/√8 = 11,72

Przedział

83,5 ± 11,72 → [71,78, 95,22]

Odpowiedź

dolna granica = 71,78

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 683

Wyznacz n

n = (1,96·20/1,5)² = 683

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 683

Odpowiedź

n = 683

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −2,607

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714

Statystyka testowa

t = (98,51 − 100)/0,5714 = −2,607

Odpowiedź

t = −2,607

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 206,5

Margines błędu

E = 2,576·12/√49 = 4,416

Granica przedziału

U = 202,1 + 4,416 = 206,5

Odpowiedź

U = 206,5

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9952

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 669/6 = 111,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 958,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 5890

Współczynnik korelacji

r = 958,5/√(157,5·5890) = 0,9952

Odpowiedź

r = 0,9952

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 4,9

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 118/5 = 23,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

Prosta regresji

b = 140/40 = 3,5

a = 23,6 − 3,5·6 = 2,6

ŷ = 2,6 + 3,5·x

Wartość przewidywana

ŷ = 2,6 + 3,5·3 = 13,1

Reszta

e = 18 − 13,1 = 4,9

Odpowiedź

e = 4,9

Punkt leży nad prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1