Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 37, 34, 56, 47, 26.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 10.

μ = 50σ = 20x = 10

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 7 kul czerwonych i 3 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

7 / 3

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €5. Wygrywasz €10 z prawdopodobieństwem 0,3 i €100 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €5€10: p = 0,3€100: p = 0,01

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

X ma rozkład normalny ze średnią 120 mm i odchyleniem standardowym 0,3 mm; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 80 mm i odchyleniem standardowym 0,4 mm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 199,3 mm. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,3 mm

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 95% wszystkich wartości (95. percentyl).

μ = 250σ = 5P = 95%

x = g

7.Przedziały ufnościŚredni

Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 30 telefonów, średnia 64,5 h, znane odchylenie standardowe 13 h. Model 2: 80 telefonów, średnia 63 h, znane odchylenie standardowe 13 h. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 64,5 hσ₁ = 13 hn₂ = 80x̄₂ = 63 hσ₂ = 13 h99%

dolna granica = h

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 8. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?

σ = 8E = 290%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 36 studentów ma średni wynik 101,6 i odchylenie standardowe z próby 8. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 101,6s = 8n = 36

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 50 przeciw H₁: μ < 50 przeprowadza się na poziomie α = 0.01 na próbie o liczebności 100; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 5. W rzeczywistości średnia wynosi 49.25. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.

μ₀ = 50μ = 49,25σ = 5n = 100α = 0,01

β = %

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 70?

n = 5ŷ = 70

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 11,68

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 200/5 = 40

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−3)² + (−6)² + 16² + 7² + (−14)² = 546

Odchylenie standardowe

s = √(546/4) = 11,68

Odpowiedź

s = 11,68

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −2

Standaryzuj

z = (10 − 50)/20 = −2

Odpowiedź

z = −2

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,4667

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 7/10 · 6/9 = 42/90 = 0,4667

Odpowiedź

P = 0,4667

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = −1 €

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Wyniki netto

G: 5 (p = 0,3), 95 (p = 0,01), −5 (p = 0,69)

Wartość oczekiwana

E(G) = 5·0,3 + 95·0,01 − 5·0,69 = −1 €

Odpowiedź

E(G) = −1 €

Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9192

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standaryzuj

z = (199,3 − 200)/0,5 = −1,4

Górny ogon

P = 1 − Φ(−1,4) = 1 − 0,08076 = 0,9192

Odpowiedź

P = 0,9192

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 258,2 g

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Powrót do x

x = 250 + 1,645·5 = 258,22 g

Odpowiedź

x = 258,22 g

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = −5,669 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estymator punktowy

x̄₁ − x̄₂ = 64,5 − 63 = 1,5

Błąd standardowy

SE = √(13²/30 + 13²/80) = 2,783

Margines błędu

E = 2,576·2,783 = 7,169

Przedział

1,5 ± 7,169 → [−5,669, 8,669]

Odpowiedź

dolna granica = −5,669 h

Przedział zawiera 0, więc dane nie wykazują istotnej różnicy.

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 44

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,645·8/2)² = 43,3

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 44

Odpowiedź

n = 44

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,2

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Statystyka testowa

t = (101,6 − 100)/1,333 = 1,2

Odpowiedź

t = 1,2

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: β = 79,56 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 5/√100 = 0,5

x̄_c = 50 − 2,326·0,5 = 48,84

z przy prawdziwej średniej

z = (48,84 − 49,25)/0,5 = −0,826

Błąd II rodzaju

moc = P(Z < −0.826) = 20.44%

β = 100% − 20,44% = 79,56%

Odpowiedź

β = 79,56%

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9757

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 601/5 = 120,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 525

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3139

Współczynnik determinacji

r² = 525²/(90·3139) = 0,9757

Odpowiedź

r² = 0,9757

Około 97,57% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 16,44

Średnie

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 429/5 = 85,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 312

Prosta regresji

b = 312/90 = 3,467

a = 85,8 − 3,467·21 = 13

ŷ = 13 + 3,467·x

Wyznacz x

x = (70 − 13)/3,467 = 16,44

Odpowiedź

x = 16,44

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1