Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 45, 19, 43, 13, 52, 38, 43.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 8. Wyznacz wynik z z dla wyniku 163,6.

μ = 170σ = 8x = 163,6

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,15, 0,2, 0,35

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 12 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 12p = 0,5

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Jaka część wartości leży między 480 a 572 h? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 500σ = 40x₁ = 480x₂ = 572

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 99% wszystkich wartości (99. percentyl).

μ = 100σ = 15P = 99%

x = pkt

7.Przedziały ufnościŚredni

Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 80 telefonów, średnia 71,5 h, znane odchylenie standardowe 6 h. Model 2: 80 telefonów, średnia 68,5 h, znane odchylenie standardowe 12 h. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 71,5 hσ₁ = 6 hn₂ = 80x̄₂ = 68,5 hσ₂ = 12 h99%

górna granica = h

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 26. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 5?

σ = 26E = 595%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 120; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 25. Losowa próba 100 obserwacji ma średnią 115,45. Przetestuj H₀: μ = 120 przeciw H₁: μ ≠ 120. Wyznacz wartość p p.

μ₀ = 120σ = 25n = 100x̄ = 115,45H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 16 pomiarów ma średnią 505. Odchylenie standardowe populacji wynosi 8. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 99 % dla średniej.

x̄ = 505σ = 8n = 1699%

U =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 36Σy = 392Σx² = 286Σy² = 26928Σxy = 2652

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (7, 10). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(7, 10)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,47

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 253/7 = 36,14

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 8,857² + (−17,14)² + 6,857² + (−23,14)² + 15,86² + 1,857² + 6,857² = 1257

Odchylenie standardowe

s = √(1257/6) = 14,47

Odpowiedź

s = 14,47

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −0,8

Standaryzuj

z = (163,6 − 170)/8 = −0,8

Odpowiedź

z = −0,8

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 154

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 10·0,3 + 20·0,15 + 30·0,2 + 40·0,35 = 26

Średnia kwadratów

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,15 + 900·0,2 + 1600·0,35 = 830

Wariancja

Var(X) = 830 − 26² = 154

Odpowiedź

Var(X) = 154

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,003174

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,5¹² = 0,0002441

P(X = 1) = 12·0,5·0,5¹¹ = 0,00293

Dodaj

P = 0,0002441 + 0,00293 = 0,003174

Odpowiedź

P = 0,003174

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6555

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (480 − 500)/40 = −0,5

z₂ = (572 − 500)/40 = 1,8

Pole pomiędzy

P = Φ(1,8) − Φ(−0,5) = 0,9641 − 0,3085 = 0,6555

Odpowiedź

P = 0,6555

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 134,9 pkt

z dla percentyla

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Powrót do x

x = 100 + 2,326·15 = 134,89 pkt

Odpowiedź

x = 134,89 pkt

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 6,864 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estymator punktowy

x̄₁ − x̄₂ = 71,5 − 68,5 = 3

Błąd standardowy

SE = √(6²/80 + 12²/80) = 1,5

Margines błędu

E = 2,576·1,5 = 3,864

Przedział

3 ± 3,864 → [−0,864, 6,864]

Odpowiedź

górna granica = 6,864 h

Przedział zawiera 0, więc dane nie wykazują istotnej różnicy.

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 104

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,96·26/5)² = 103,9

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 104

Odpowiedź

n = 104

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: p = 0,06876

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statystyka testowa

SE = σ/√n = 25/√100 = 2,5

z = (115,45 − 120)/2,5 = −1,82

Pole ogona

Φ(1,82) = 0,9656

1 − Φ(1,82) = 0,0344

Wartość p

p = 2·0,0344 = 0,06876

Odpowiedź

p = 0,06876

p > 0,05, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 %.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 510,2

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 2,576·8/√16 = 5,152

Granica przedziału

U = 505 + 5,152 = 510,2

Odpowiedź

U = 510,2

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9879

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 2652 − 36·392/6 = 300

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 26928 − 392²/6 = 1317

Współczynnik korelacji

r = 300/√(70·1317) = 0,9879

Odpowiedź

r = 0,9879

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = −3,667

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 82/6 = 13,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134

Prosta regresji

b = 134/70 = 1,914

a = 13,67 − 1,914·7 = 0,2667

ŷ = 0,2667 + 1,914·x

Wartość przewidywana

ŷ = 0,2667 + 1,914·7 = 13,67

Reszta

e = 10 − 13,67 = −3,667

Odpowiedź

e = −3,667

Punkt leży pod prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1