Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 58, 11, 58, 19, 47.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży poniżej 200?

μ = 170σ = 20x = 200

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,25, 0,1, 0,35

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 6 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,25. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 6p = 0,25

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Jaka część wartości leży między 245,25 a 257,75 g? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 250σ = 5x₁ = 245,25x₂ = 257,75

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,03 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 13 elementów ma średnią 44,5 i odchylenie standardowe s = 10,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 13x̄ = 44,5s = 10,590%t(12) = 1,782

dolna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Badanie pilotażowe sugeruje, że wadliwych jest około 0,1 produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 99 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,025?

p ≈ 0,1E = 0,02599%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 100 studentów ma średni wynik 96,28 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 96,28s = 12n = 100

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 99 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5? Odchylenie standardowe wynosi 12. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 12E = 1,599%

n =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 56?

n = 6ŷ = 56

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 22,19

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 193/5 = 38,6

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 19,4² + (−27,6)² + 19,4² + (−19,6)² + 8,4² = 1969

Odchylenie standardowe

s = √(1969/4) = 22,19

Odpowiedź

s = 22,19

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9332

Standaryzuj

z = 1,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Odpowiedź

P = 0,9332

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 1,55

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,3 + 1·0,25 + 2·0,1 + 3·0,35 = 1,5

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,25 + 4·0,1 + 9·0,35 = 3,8

Wariancja

Var(X) = 3,8 − 1,5² = 1,55

Odpowiedź

Var(X) = 1,55

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,5339

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,75⁶ = 0,178

P(X = 1) = 6·0,25·0,75⁵ = 0,356

Dodaj

P = 0,178 + 0,356 = 0,5339

Odpowiedź

P = 0,5339

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7684

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (245,25 − 250)/5 = −0,95

z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55

Pole pomiędzy

P = Φ(1,55) − Φ(−0,95) = 0,9394 − 0,1711 = 0,7684

Odpowiedź

P = 0,7684

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8849

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849

Odpowiedź

P = 0,8849

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 39,31

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Margines błędu

E = 1,782·10,5/√13 = 5,189

Przedział

44,5 ± 5,189 → [39,31, 49,69]

Odpowiedź

dolna granica = 39,31

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 956

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Wyznacz n

n = 2,576²·0,1·0,9/0,025² = 955,6

Zaokrąglij w górę

n = 956

Odpowiedź

n = 956

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −3,1

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2

Statystyka testowa

t = (96,28 − 100)/1,2 = −3,1

Odpowiedź

t = −3,1

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 425

Wyznacz n

n = (2,576·12/1,5)² = 424,7

Zaokrąglij w górę

n = 425

Odpowiedź

n = 425

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,8

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 115/5 = 23

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 40

Współczynnik korelacji

r = −16/√(10·40) = −0,8

Odpowiedź

r = −0,8

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 4,746

Średnie

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 328/6 = 54,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 95

Prosta regresji

b = 95/17,5 = 5,429

a = 54,67 − 5,429·4,5 = 30,24

ŷ = 30,24 + 5,429·x

Wyznacz x

x = (56 − 30,24)/5,429 = 4,746

Odpowiedź

x = 4,746

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1