Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 27, 33, 50, 40, 37, 18, 42.
n = 7
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży powyżej 154?
μ = 170σ = 8x = 154
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 3 kul czerwonych i 7 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
3 / 7
P =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 8 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 8p = 0,4
P =
5.Rozkład normalnyŚredni
X ma rozkład normalny ze średnią 120 mm i odchyleniem standardowym 0,3 mm; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 80 mm i odchyleniem standardowym 0,4 mm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 200,5 mm. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 200,5 mm
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,03 mm i odchyleniem standardowym 0,01 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
otwór: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 50 telefonów, średnia 49 h, znane odchylenie standardowe 20 h. Model 2: 60 telefonów, średnia 38 h, znane odchylenie standardowe 6 h. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
n₁ = 50x̄₁ = 49 hσ₁ = 20 hn₂ = 60x̄₂ = 38 hσ₂ = 6 h90%
dolna granica = h
8.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 15 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 8,3 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 14 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 5,629, a 2,5 % powyżej 26,119.
n = 15s = 8,3 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 23 uczniów, średni wynik 107,5, odchylenie standardowe 2,5. Grupa 2: 8 uczniów, średni wynik 104,1, odchylenie standardowe 9. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).
n₁ = 23x̄₁ = 107,5s₁ = 2,5n₂ = 8x̄₂ = 104,1s₂ = 9
t =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z dla H₀: μ = 500 przeciw H₁: μ > 500 przeprowadza się na poziomie α = 0,10 na próbie o liczebności 64; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 24. W rzeczywistości średnia wynosi 506. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.
μ₀ = 500μ = 506σ = 24n = 64α = 0,10
β = %
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 6
r² =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (16,5, 55). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 5(16,5, 55)
e =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 10,48
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 247/7 = 35,29
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = (−8,286)² + (−2,286)² + 14,71² + 4,714² + 1,714² + (−17,29)² + 6,714² = 659,4
Odchylenie standardowe
s = √(659,4/6) = 10,48
Odpowiedź
s = 10,48
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,9772
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Odpowiedź
P = 0,9772
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,06667
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 3/10 · 2/9 = 6/90 = 0,06667
Odpowiedź
P = 0,06667
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,1064
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,68 = 0,0168
P(X = 1) = 8·0,4·0,67 = 0,08958
Dodaj
P = 0,0168 + 0,08958 = 0,1064
Odpowiedź
P = 0,1064
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,1587
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standaryzuj
z = (200,5 − 200)/0,5 = 1
Górny ogon
P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587
Odpowiedź
P = 0,1587
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,9515
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm
Standaryzuj
z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515
Odpowiedź
P = 0,9515
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 6,176 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 49 − 38 = 11
Błąd standardowy
SE = √(20²/50 + 6²/60) = 2,933
Margines błędu
E = 1,645·2,933 = 4,824
Przedział
11 ± 4,824 → [6,176, 15,82]
Odpowiedź
dolna granica = 6,176 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 6,077 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 14·8,3² = 964,5
Granice dla σ²
964,5/26,119 = 36,93
964,5/5,629 = 171,3
Granica dla σ
σ = √36,93 = 6,077 µm
Odpowiedź
σ = 6,077 µm
Przedział 95 % dla σ: [6,077, 13,09] µm.
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 1,681
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Wariancja łączna
sp² = (22·2,5² + 7·9²)/29 = 24,29
sp = 4,929
Błąd standardowy
SE = 4,929·√(1/23 + 1/8) = 2,023
Statystyka testowa
t = (107,5 − 104,1)/2,023 = 1,681
Odpowiedź
t = 1,681
Przy df = 29 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,045; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: β = 23,64 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Krytyczna średnia z próby
SE = 24/√64 = 3
x̄c = 500 + 1,282·3 = 503,8
z przy prawdziwej średniej
z = (503,8 − 506)/3 = −0,718
Błąd II rodzaju
moc = P(Z > −0,718) = 76,36%
β = 100% − 76,36% = 23,64%
Odpowiedź
β = 23,64%
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9639
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 95/6 = 15,83
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 44,83
Współczynnik determinacji
r² = −27,5²/(17,5·44,83) = 0,9639
Odpowiedź
r² = 0,9639
Około 96,39% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = −3,45
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 362/5 = 72,4
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 279
Prosta regresji
b = 279/90 = 3,1
a = 72,4 − 3,1·21 = 7,3
ŷ = 7,3 + 3,1·x
Wartość przewidywana
ŷ = 7,3 + 3,1·16,5 = 58,45
Reszta
e = 55 − 58,45 = −3,45
Odpowiedź
e = −3,45
Punkt leży pod prostą.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1