Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 38, 41, 48, 30, 57.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 60. Jaka część P wartości leży powyżej 524?

μ = 500σ = 60x = 524

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €10. Wygrywasz €30 z prawdopodobieństwem 0,25 i €500 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €10€30: p = 0,25€500: p = 0,01

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,6827. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,6827

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 90% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 500 hσ = 40 h90%

x = h

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 13 elementów ma średnią 98 i odchylenie standardowe s = 11,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 13x̄ = 98s = 11,590%t(12) = 1,782

dolna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 16 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 4,1 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 15 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 6,262, a 2,5 % powyżej 27,488.

n = 16s = 4,1 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 36 studentów ma średni wynik 98,8 i odchylenie standardowe z próby 8. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,8s = 8n = 36

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 2 jednostek z mocą 90 %. Odchylenie standardowe wynosi 4. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,01moc = 90%δ = 2σ = 4z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 21Σy = 211Σx² = 91Σy² = 7709Σxy = 807

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (5, 13). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(5, 13)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 10,23

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 214/5 = 42,8

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−4,8)² + (−1,8)² + 5,2² + (−12,8)² + 14,2² = 418,8

Odchylenie standardowe

s = √(418,8/4) = 10,23

Odpowiedź

s = 10,23

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,3446

Standaryzuj

z = 0,4

Tablica rozkładu normalnego

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Odpowiedź

P = 0,3446

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 0,6475

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Wariancja

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

Odpowiedź

Var(X) = 0,6475

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 2,5 €

Wyniki netto

G: 20 (p = 0,25), 490 (p = 0,01), −10 (p = 0,74)

Wartość oczekiwana

E(G) = 20·0,25 + 490·0,01 − 10·0,74 = 2,5 €

Odpowiedź

E(G) = 2,5 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,6827)/2 = 0,8413

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,8413 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,00

Odpowiedź

z = 1,00

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 551 h

Pole po lewej

Φ(z) = 0,9

z z tablicy

z ≈ 1,28

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 500 + 1,28·40 = 551 h

Odpowiedź

x = 551 h

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 92,32

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Margines błędu

E = 1,782·11,5/√13 = 5,684

Przedział

98 ± 5,684 → [92,32, 103,7]

Odpowiedź

dolna granica = 92,32

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 3,029 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 15·4,1² = 252,1

Granice dla σ²

252,1/27,488 = 9,173

252,1/6,262 = 40,27

Granica dla σ

σ = √9,173 = 3,029 µm

Odpowiedź

σ = 3,029 µm

Przedział 95 % dla σ: [3,029, 6,346] µm.

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −0,9

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Statystyka testowa

t = (98,8 − 100)/1,333 = −0,9

Odpowiedź

t = −0,9

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 53

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((2,326 + 1,282)·4/2)² = 52,07

Zaokrąglij w górę

n = 53

Odpowiedź

n = 53

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9635

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 807 − 21·211/6 = 68,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 7709 − 211²/6 = 288,8

Współczynnik korelacji

r = 68,5/√(17,5·288,8) = 0,9635

Odpowiedź

r = 0,9635

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 2,4

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 62/5 = 12,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72

Prosta regresji

b = 72/40 = 1,8

a = 12,4 − 1,8·6 = 1,6

ŷ = 1,6 + 1,8·x

Wartość przewidywana

ŷ = 1,6 + 1,8·5 = 10,6

Reszta

e = 13 − 10,6 = 2,4

Odpowiedź

e = 2,4

Punkt leży nad prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1