Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 45, 54, 19, 27, 41, 12.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży poniżej 64?

μ = 70σ = 5x = 64

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,35, 0,25, 0,15, 0,05

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 8 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,5, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 1 poprawnych odpowiedzi?

n = 8p = 0,5k = 1

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

X ma rozkład normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 4 g; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 500 g i odchyleniem standardowym 9 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 754,9 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 754,9 g

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 20% wszystkich wartości (20. percentyl).

μ = 500σ = 40P = 20%

x = h

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 6 elementów ma średnią 69 i odchylenie standardowe s = 5,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 6x̄ = 69s = 5,595%t(5) = 2,571

E =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 28. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?

σ = 28E = 1,595%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 36 studentów ma średni wynik 72 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72s = 10n = 36

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 81 pomiarów ma średnią 199,7. Odchylenie standardowe populacji wynosi 4. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 90 % dla średniej.

x̄ = 199,7σ = 4n = 8190%

L =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (1,5, 30). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 30)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 16,26

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 198/6 = 33

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 12² + 21² + (−14)² + (−6)² + 8² + (−21)² = 1322

Odchylenie standardowe

s = √(1322/5) = 16,26

Odpowiedź

s = 16,26

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,1151

Standaryzuj

z = −1,2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Odpowiedź

P = 0,1151

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 1,118

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,15 + 5·0,05 = 2,5

Średnia kwadratów

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,15 + 25·0,05 = 7,5

Wariancja

Var(X) = 7,5 − 2,5² = 1,25

σ = √1,25 = 1,118

Odpowiedź

σ = 1,118

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,03125

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Wzór dwumianowy

P(X = 1) = 8·0,5¹·0,5⁷ = 8·0,5·0,007813 = 0,03125

Odpowiedź

P = 0,03125

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,3085

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standaryzuj

z = (754,9 − 750)/9,849 = 0,5

Górny ogon

P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085

Odpowiedź

P = 0,3085

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 466,3 h

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Powrót do x

x = 500 + −0,8416·40 = 466,34 h

Odpowiedź

x = 466,34 h

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 5,773

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 5, t = 2,571

Margines błędu

E = 2,571·5,5/√6 = 5,773

Odpowiedź

E = 5,773

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1339

Wyznacz n

n = (1,96·28/1,5)² = 1339

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 1339

Odpowiedź

n = 1339

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,8

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Statystyka testowa

t = (72 − 75)/1,667 = −1,8

Odpowiedź

t = −1,8

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 199

Margines błędu

E = 1,645·4/√81 = 0,7311

Granica przedziału

L = 199,7 − 0,7311 = 199

Odpowiedź

L = 199

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9945

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 624/6 = 104

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 747

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3582

Współczynnik korelacji

r = 747/√(157,5·3582) = 0,9945

Odpowiedź

r = 0,9945

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 2,029

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 150/6 = 25

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

Prosta regresji

b = −26/17,5 = −1,486

a = 25 − (−1,486)·3,5 = 30,2

ŷ = 30,2 − 1,486·x

Wartość przewidywana

ŷ = 30,2 + (−1,486)·1,5 = 27,97

Reszta

e = 30 − 27,97 = 2,029

Odpowiedź

e = 2,029

Punkt leży nad prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1