Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 27, 29, 28, 42, 28, 14, 13.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 8. Wyznacz wynik z z dla wyniku 54,8.

μ = 50σ = 8x = 54,8

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,35, 0,35, 0,15

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €10. Wygrywasz €20 z prawdopodobieństwem 0,3 i €200 z prawdopodobieństwem 0,05; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €10€20: p = 0,3€200: p = 0,05

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

Masy pudeł są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 12 kg i odchyleniem standardowym 0,8 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 8 z nich przekroczy 98,3 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 8> 98,3 kg

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 85% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 250 gσ = 5 g85%

x = g

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 6 elementów ma średnią 25 i odchylenie standardowe s = 19,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 6x̄ = 25s = 19,595%t(5) = 2,571

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 24. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?

σ = 24E = 290%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 22 uczniów, średni wynik 116,5, odchylenie standardowe 12. Grupa 2: 9 uczniów, średni wynik 108,2, odchylenie standardowe 4,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 22x̄₁ = 116,5s₁ = 12n₂ = 9x̄₂ = 108,2s₂ = 4,5

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 36 pomiarów ma średnią 120,8. Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 99 % dla średniej.

x̄ = 120,8σ = 15n = 3699%

U =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 5,5.

n = 6x = 5,5

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 9,89

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 181/7 = 25,86

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 1,143² + 3,143² + 2,143² + 16,14² + 2,143² + (−11,86)² + (−12,86)² = 586,9

Odchylenie standardowe

s = √(586,9/6) = 9,89

Odpowiedź

s = 9,89

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 0,6

Standaryzuj

z = (54,8 − 50)/8 = 0,6

Odpowiedź

z = 0,6

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 9,22

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 10·0,15 + 20·0,35 + 30·0,35 + 40·0,15 = 25

Średnia kwadratów

E(X²) = 100·0,15 + 400·0,35 + 900·0,35 + 1600·0,15 = 710

Wariancja

Var(X) = 710 − 25² = 85

σ = √85 = 9,22

Odpowiedź

σ = 9,22

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 6 €

Wyniki netto

G: 10 (p = 0,3), 190 (p = 0,05), −10 (p = 0,65)

Wartość oczekiwana

E(G) = 10·0,3 + 190·0,05 − 10·0,65 = 6 €

Odpowiedź

E(G) = 6 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,1539

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 96 kg, σ_T = 0,8·√8 = 2,263 kg

Standaryzuj

z = (98,3 − 96)/2,263 = 1,02

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(1,02) = 0,1539

Odpowiedź

P = 0,1539

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 244,8 g

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,15

z z tablicy

z ≈ −1,04

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 250 − 1,04·5 = 244,8 g

Odpowiedź

x = 244,8 g

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 45,47

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 5, t = 2,571

Margines błędu

E = 2,571·19,5/√6 = 20,47

Przedział

25 ± 20,47 → [4,533, 45,47]

Odpowiedź

górna granica = 45,47

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 390

Wyznacz n

n = (1,645·24/2)² = 389,7

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 390

Odpowiedź

n = 390

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,001

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (21·12² + 8·4,5²)/29 = 109,9

s_p = 10,48

Błąd standardowy

SE = 10,48·√(1/22 + 1/9) = 4,147

Statystyka testowa

t = (116,5 − 108,2)/4,147 = 2,001

Odpowiedź

t = 2,001

Przy df = 29 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,045; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 127,2

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 2,576·15/√36 = 6,44

Granica przedziału

U = 120,8 + 6,44 = 127,2

Odpowiedź

U = 127,2

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9487

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 145/5 = 29

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 24

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 64

Współczynnik korelacji

r = 24/√(10·64) = 0,9487

Odpowiedź

r = 0,9487

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 41,41

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 207/6 = 34,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60,5

Prosta regresji

b = 60,5/17,5 = 3,457

a = 34,5 − 3,457·3,5 = 22,4

ŷ = 22,4 + 3,457·x

Prognoza

ŷ = 22,4 + 3,457·5,5 = 41,41

Odpowiedź

ŷ = 41,41

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1