Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 18, 41, 12, 31, 58, 50.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 12. Wyznacz wynik z z dla wyniku 52.

μ = 70σ = 12x = 52

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 2 osób z grupy 8 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 8k = 2

N =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 12 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 12p = 0,4

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,9406. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,9406

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,04 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 16 elementów ma średnią 39,5 i odchylenie standardowe s = 3,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 16x̄ = 39,5s = 3,595%t(15) = 2,131

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 38. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?

σ = 38E = 1,595%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 120; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 36. Losowa próba 144 obserwacji ma średnią 127,08. Przetestuj H₀: μ = 120 przeciw H₁: μ > 120. Wyznacz wartość p p.

μ₀ = 120σ = 36n = 144x̄ = 127,08H₁: μ > μ₀

p =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 60 z 100 pacjentów leczonych metodą A i 140 z 250 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 100x₂ = 140n₂ = 250

z =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (1,5, 18). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 18)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 18,02

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 210/6 = 35

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−17)² + 6² + (−23)² + (−4)² + 23² + 15² = 1624

Odchylenie standardowe

s = √(1624/5) = 18,02

Odpowiedź

s = 18,02

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −1,5

Standaryzuj

z = (52 − 70)/12 = −1,5

Odpowiedź

z = −1,5

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 28

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28

Odpowiedź

N = 28

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,01959

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,6¹² = 0,002177

P(X = 1) = 12·0,4·0,6¹¹ = 0,01741

Dodaj

P = 0,002177 + 0,01741 = 0,01959

Odpowiedź

P = 0,01959

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = −1,56

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,9406 = 0,0594

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,0594 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = −1,56

Odpowiedź

z = −1,56

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9706

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02121 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,04)/0,02121 = −1,89

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1,89) = 0,9706

Odpowiedź

P = 0,9706

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 41,36

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Margines błędu

E = 2,131·3,5/√16 = 1,865

Przedział

39,5 ± 1,865 → [37,64, 41,36]

Odpowiedź

górna granica = 41,36

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 2466

Wyznacz n

n = (1,96·38/1,5)² = 2465

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 2466

Odpowiedź

n = 2466

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: p = 0,009137

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statystyka testowa

SE = σ/√n = 36/√144 = 3

z = (127,08 − 120)/3 = 2,36

Pole ogona

Φ(2,36) = 0,9909

1 − Φ(2,36) = 0,0091

Wartość p

p = 0,009137

Odpowiedź

p = 0,009137

p ≤ 0,05, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 %.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = 0,6831

Frakcje z prób

p̂₁ = 60/100 = 0,6

p̂₂ = 140/250 = 0,56

p̂ = 200/350 = 0,5714

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,5714·0,4286·(1/100 + 1/250)) = 0,05855

Statystyka testowa

z = (0,6 − 0,56)/0,05855 = 0,6831

Odpowiedź

z = 0,6831

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,9731

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 115/5 = 23

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 66

Współczynnik korelacji

r = −25/√(10·66) = −0,9731

Odpowiedź

r = −0,9731

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = −3,862

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 113/6 = 18,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26,5

Prosta regresji

b = −26,5/17,5 = −1,514

a = 18,83 − (−1,514)·3,5 = 24,13

ŷ = 24,13 − 1,514·x

Wartość przewidywana

ŷ = 24,13 + (−1,514)·1,5 = 21,86

Reszta

e = 18 − 21,86 = −3,862

Odpowiedź

e = −3,862

Punkt leży pod prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1