Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 44, 15, 38, 60, 58, 18, 35.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży powyżej 100?

μ = 60σ = 20x = 100

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,2, 0,35, 0,25

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 12 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 12p = 0,7

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 55 a 70,5 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 65σ = 10x₁ = 55x₂ = 70,5

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Wzrost X mężczyzn i wzrost Y kobiet w grupie są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 180 cm i odchylenie standardowe 10 cm, Y ma średnią 170 cm i odchylenie standardowe 12 cm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 9 elementów ma średnią 33 i odchylenie standardowe s = 15,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 9x̄ = 33s = 15,599%t(8) = 3,355

E =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 21. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5?

σ = 21E = 2,599%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 8 uczniów, średni wynik 116,5, odchylenie standardowe 3. Grupa 2: 6 uczniów, średni wynik 117,9, odchylenie standardowe 5,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 8x̄₁ = 116,5s₁ = 3n₂ = 6x̄₂ = 117,9s₂ = 5,5

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5? Odchylenie standardowe wynosi 5. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 5E = 2,590%

n =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 6,5.

n = 5x = 6,5

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 17,59

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 268/7 = 38,29

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 5,714² + (−23,29)² + (−0,2857)² + 21,71² + 19,71² + (−20,29)² + (−3,286)² = 1857

Odchylenie standardowe

s = √(1857/6) = 17,59

Odpowiedź

s = 17,59

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,02275

Standaryzuj

z = 2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Odpowiedź

P = 0,02275

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 1,127

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,2 + 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,25 = 1,65

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,25 = 3,85

Wariancja

Var(X) = 3,85 − 1,65² = 1,127

Odpowiedź

Var(X) = 1,127

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 1,541 × 10⁻⁵

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,3¹² = 5,314 × 10⁻⁷

P(X = 1) = 12·0,7·0,3¹¹ = 1,488 × 10⁻⁵

Dodaj

P = 5,314 × 10⁻⁷ + 1,488 × 10⁻⁵ = 1,541 × 10⁻⁵

Odpowiedź

P = 1,541 × 10⁻⁵

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,5502

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (55 − 65)/10 = −1

z₂ = (70,5 − 65)/10 = 0,55

Pole pomiędzy

P = Φ(0,55) − Φ(−1) = 0,7088 − 0,1587 = 0,5502

Odpowiedź

P = 0,5502

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7389

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standaryzuj

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Odpowiedź

P = 0,7389

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 17,33

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Margines błędu

E = 3,355·15,5/√9 = 17,33

Odpowiedź

E = 17,33

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 469

Wyznacz n

n = (2,576·21/2,5)² = 468,2

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 469

Odpowiedź

n = 469

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −0,6135

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (7·3² + 5·5,5²)/12 = 17,85

s_p = 4,225

Błąd standardowy

SE = 4,225·√(1/8 + 1/6) = 2,282

Statystyka testowa

t = (116,5 − 117,9)/2,282 = −0,6135

Odpowiedź

t = −0,6135

Przy df = 12 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,179; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 11

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Wyznacz n

n = (1,645·5/2,5)² = 10,82

Zaokrąglij w górę

n = 11

Odpowiedź

n = 11

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9979

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 125/5 = 25

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 534

Współczynnik determinacji

r² = 146²/(40·534) = 0,9979

Odpowiedź

r² = 0,9979

Około 99,79% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 86,9

Średnie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 385/5 = 77

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66

Prosta regresji

b = 66/10 = 6,6

a = 77 − 6,6·5 = 44

ŷ = 44 + 6,6·x

Prognoza

ŷ = 44 + 6,6·6,5 = 86,9

Odpowiedź

ŷ = 86,9

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1