Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 41, 27, 33, 38, 25.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 112.

μ = 100σ = 20x = 112

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 4 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 4

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 6 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,3, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 1 poprawnych odpowiedzi?

n = 6p = 0,3k = 1

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Masy pudeł są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 12 kg i odchyleniem standardowym 0,8 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 6 z nich będzie mniejsza niż 69,1 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 6< 69.1 kg

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 90% wszystkich wartości (90. percentyl).

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 15 elementów ma średnią 76 i odchylenie standardowe s = 14,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 15x̄ = 76s = 14,590%t(14) = 1,761

E =

8.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 21 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 4,3 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 20 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 9,591, a 2,5 % powyżej 34,17.

n = 21s = 4,3 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 100; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 24. Losowa próba 64 obserwacji ma średnią 102,4. Przetestuj H₀: μ = 100 przeciw H₁: μ > 100. Wyznacz wartość p p.

μ₀ = 100σ = 24n = 64x̄ = 102,4H₁: μ > μ₀

p =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5? Odchylenie standardowe wynosi 5. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 5E = 0,590%

n =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 51?

n = 5ŷ = 51

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 6,87

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 164/5 = 32,8

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 8,2² + (−5,8)² + 0,2² + 5,2² + (−7,8)² = 188,8

Odchylenie standardowe

s = √(188,8/4) = 6,87

Odpowiedź

s = 6,87

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 0,6

Standaryzuj

z = (112 − 100)/20 = 0,6

Odpowiedź

z = 0,6

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,5177

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Odpowiedź

P = 0,5177

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,3025

Wzór dwumianowy

P(X = 1) = 6·0,3¹·0,7⁵ = 6·0,3·0,1681 = 0,3025

Odpowiedź

P = 0,3025

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,06944

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 72 kg, σ_T = 0,8·√6 = 1,96 kg

Standaryzuj

z = (69,1 − 72)/1,96 = −1,48

Prawdopodobieństwo

P = Φ(−1,48) = 0,06944

Odpowiedź

P = 0,06944

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 187 cm

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Powrót do x

x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm

Odpowiedź

x = 186,97 cm

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 6,593

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 14, t = 1,761

Margines błędu

E = 1,761·14,5/√15 = 6,593

Odpowiedź

E = 6,593

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 3,29 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 20·4,3² = 369,8

Granice dla σ²

369,8/34,17 = 10,82

369,8/9,591 = 38,56

Granica dla σ

σ = √10,82 = 3,29 µm

Odpowiedź

σ = 3,29 µm

Przedział 95 % dla σ: [3,29, 6,209] µm.

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: p = 0,2119

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statystyka testowa

SE = σ/√n = 24/√64 = 3

z = (102,4 − 100)/3 = 0,8

Pole ogona

Φ(0,8) = 0,7881

1 − Φ(0,8) = 0,2119

Wartość p

p = 0,2119

Odpowiedź

p = 0,2119

p > 0,05, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 %.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 271

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Wyznacz n

n = (1,645·5/0,5)² = 270,6

Zaokrąglij w górę

n = 271

Odpowiedź

n = 271

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9737

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 412/6 = 68,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 280

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1181

Współczynnik korelacji

r = 280/√(70·1181) = 0,9737

Odpowiedź

r = 0,9737

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 2,07

Średnie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 318/5 = 63,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172

Prosta regresji

b = 172/40 = 4,3

a = 63,6 − 4,3·5 = 42,1

ŷ = 42,1 + 4,3·x

Wyznacz x

x = (51 − 42,1)/4,3 = 2,07

Odpowiedź

x = 2,07

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1