Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 38, 39, 16, 34, 24, 31.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 50. Jaka część P wartości leży poniżej 600?

μ = 500σ = 50x = 600

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,1, 0,3, 0,3

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €10. Wygrywasz €40 z prawdopodobieństwem 0,3 i €200 z prawdopodobieństwem 0,02; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €10€40: p = 0,3€200: p = 0,02

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,6424. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,6424

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 5% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 100 pktσ = 15 pkt5%

x = pkt

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 7 elementów ma średnią 43,5 i odchylenie standardowe s = 9. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 7x̄ = 43,5s = 990%t(6) = 1,943

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 30 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 9,4 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 29 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 16,047, a 2,5 % powyżej 45,722.

n = 30s = 9,4 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 7 uczniów, średni wynik 88,5, odchylenie standardowe 9,5. Grupa 2: 5 uczniów, średni wynik 97,9, odchylenie standardowe 5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 7x̄₁ = 88,5s₁ = 9,5n₂ = 5x̄₂ = 97,9s₂ = 5

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 1,5 jednostek z mocą 95 %. Odchylenie standardowe wynosi 5. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,05moc = 95%δ = 1,5σ = 5z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 27Σy = 320Σx² = 139Σy² = 17502Σxy = 1524

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (18,5, 42). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(18,5, 42)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 8,869

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 182/6 = 30,33

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 7,667² + 8,667² + (−14,33)² + 3,667² + (−6,333)² + 0,6667² = 393,3

Odchylenie standardowe

s = √(393,3/5) = 8,869

Odpowiedź

s = 8,869

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9772

Standaryzuj

z = 2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Odpowiedź

P = 0,9772

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 1,2

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,3 + 1·0,1 + 2·0,3 + 3·0,3 = 1,6

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,1 + 4·0,3 + 9·0,3 = 4

Wariancja

Var(X) = 4 − 1,6² = 1,44

σ = √1,44 = 1,2

Odpowiedź

σ = 1,2

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 6 €

Wyniki netto

G: 30 (p = 0,3), 190 (p = 0,02), −10 (p = 0,68)

Wartość oczekiwana

E(G) = 30·0,3 + 190·0,02 − 10·0,68 = 6 €

Odpowiedź

E(G) = 6 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 0,92

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,6424)/2 = 0,8212

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,8212 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 0,92

Odpowiedź

z = 0,92

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 75,4 pkt

Pole po lewej

Φ(z) = 0,05

z z tablicy

z ≈ −1,64

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 100 − 1,64·15 = 75,4 pkt

Odpowiedź

x = 75,4 pkt

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 50,11

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Margines błędu

E = 1,943·9/√7 = 6,609

Przedział

43,5 ± 6,609 → [36,89, 50,11]

Odpowiedź

górna granica = 50,11

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 12,64 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 29·9,4² = 2562

Granice dla σ²

2562/45,722 = 56,04

2562/16,047 = 159,7

Granica dla σ

σ = √159,7 = 12,64 µm

Odpowiedź

σ = 12,64 µm

Przedział 95 % dla σ: [7,486, 12,64] µm.

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −2,004

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (6·9,5² + 4·5²)/10 = 64,15

s_p = 8,009

Błąd standardowy

SE = 8,009·√(1/7 + 1/5) = 4,69

Statystyka testowa

t = (88,5 − 97,9)/4,69 = −2,004

Odpowiedź

t = −2,004

Przy df = 10 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,228; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 121

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((1,645 + 1,645)·5/1,5)² = 120,3

Zaokrąglij w górę

n = 121

Odpowiedź

n = 121

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9624

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 1524 − 27·320/6 = 84

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 17502 − 320²/6 = 435,3

Współczynnik korelacji

r = 84/√(17,5·435,3) = 0,9624

Odpowiedź

r = 0,9624

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = −2,75

Średnie

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 310/5 = 62

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 345

Prosta regresji

b = 345/90 = 3,833

a = 62 − 3,833·23 = −26,17

ŷ = −26,17 + 3,833·x

Wartość przewidywana

ŷ = −26,17 + 3,833·18,5 = 44,75

Reszta

e = 42 − 44,75 = −2,75

Odpowiedź

e = −2,75

Punkt leży pod prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1