Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 54, 24, 58, 39, 26.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 10. Wyznacz wynik z z dla wyniku 75.

μ = 60σ = 10x = 75

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 5 kul czerwonych i 7 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

5 / 7

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 7 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 7p = 0,1

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 57 a 73 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 65σ = 10x₁ = 57x₂ = 73

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 30% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 100 pktσ = 15 pkt30%

x = pkt

7.Przedziały ufnościŚredni

Przedział ufności 95 % dla średniej, oparty na 36 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 3,9. Jaki jest margines błędu E₂ przedziału 90 % z tych samych danych?

95%n₁ = 36E₁ = 3,990%

E₂ =

8.Przedziały ufnościTrudny

Badanie pilotażowe sugeruje, że wadliwych jest około 0,3 produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 90 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,04?

p ≈ 0,3E = 0,0490%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 25 studentów ma średni wynik 45,6 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 45,6s = 10n = 25

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 50 z 250 pacjentów leczonych metodą A i 64 z 200 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 50n₁ = 250x₂ = 64n₂ = 200

z =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 10?

n = 5ŷ = 10

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 15,59

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 201/5 = 40,2

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 13,8² + (−16,2)² + 17,8² + (−1,2)² + (−14,2)² = 972,8

Odchylenie standardowe

s = √(972,8/4) = 15,59

Odpowiedź

s = 15,59

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1,5

Standaryzuj

z = (75 − 60)/10 = 1,5

Odpowiedź

z = 1,5

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,1515

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 5/12 · 4/11 = 20/132 = 0,1515

Odpowiedź

P = 0,1515

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,8503

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,9⁷ = 0,4783

P(X = 1) = 7·0,1·0,9⁶ = 0,372

Dodaj

P = 0,4783 + 0,372 = 0,8503

Odpowiedź

P = 0,8503

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,5763

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (57 − 65)/10 = −0,8

z₂ = (73 − 65)/10 = 0,8

Pole pomiędzy

P = Φ(0,8) − Φ(−0,8) = 0,7881 − 0,2119 = 0,5763

Odpowiedź

P = 0,5763

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 107,8 pkt

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,7

z z tablicy

z ≈ 0,52

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 100 + 0,52·15 = 107,8 pkt

Odpowiedź

x = 107,8 pkt

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E₂ = 3,273

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Stosunek marginesów

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(36/36) = 0,8393

Nowy margines

E₂ = 3,9·0,8393 = 3,273

Odpowiedź

E₂ = 3,273

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 356

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Wyznacz n

n = 1,645²·0,3·0,7/0,04² = 355,2

Zaokrąglij w górę

n = 356

Odpowiedź

n = 356

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −2,2

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Statystyka testowa

t = (45,6 − 50)/2 = −2,2

Odpowiedź

t = −2,2

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −2,908

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Frakcje z prób

p̂₁ = 50/250 = 0,2

p̂₂ = 64/200 = 0,32

p̂ = 114/450 = 0,2533

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,2533·0,7467·(1/250 + 1/200)) = 0,04126

Statystyka testowa

z = (0,2 − 0,32)/0,04126 = −2,908

Odpowiedź

z = −2,908

|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,993

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 209/5 = 41,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 327

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1205

Współczynnik korelacji

r = 327/√(90·1205) = 0,993

Odpowiedź

r = 0,993

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 3,128

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 78/5 = 15,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78

Prosta regresji

b = 78/40 = 1,95

a = 15,6 − 1,95·6 = 3,9

ŷ = 3,9 + 1,95·x

Wyznacz x

x = (10 − 3,9)/1,95 = 3,128

Odpowiedź

x = 3,128

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1