Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 22, 17, 32, 11, 27, 55.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży powyżej 77,5?

μ = 100σ = 15x = 77,5

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,35, 0,35, 0,15

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 3X + 1. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,3, 0,35, 0,1Y = 3X + 1

σ_Y =

5.Rozkład normalnyŚredni

X ma rozkład normalny ze średnią 60 s i odchyleniem standardowym 5 s; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 45 s i odchyleniem standardowym 4 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 111,4 s. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 111,4 s

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 90% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 500 hσ = 40 h90%

x = h

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 25 elementów ma średnią 42 i odchylenie standardowe s = 20. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 25x̄ = 42s = 2099%t(24) = 2,797

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 34. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?

σ = 34E = 199%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 25 studentów ma średni wynik 126,8 i odchylenie standardowe z próby 20. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 126,8s = 20n = 25

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 95 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2? Odchylenie standardowe wynosi 12. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 12E = 295%

n =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 38?

n = 5ŷ = 38

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 15,42

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 164/6 = 27,33

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−5,333)² + (−10,33)² + 4,667² + (−16,33)² + (−0,3333)² + 27,67² = 1189

Odchylenie standardowe

s = √(1189/5) = 15,42

Odpowiedź

s = 15,42

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9332

Standaryzuj

z = −1,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Odpowiedź

P = 0,9332

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 0,85

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,35 + 4·0,15 = 2,5

Średnia kwadratów

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,35 + 16·0,15 = 7,1

Wariancja

Var(X) = 7,1 − 2,5² = 0,85

Odpowiedź

Var(X) = 0,85

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 5,724

Rozrzut X

μ = 2,6, Var(X) = 3,64, σ_X = 1,908

Zmiana liniowa

σ_Y = |3|·1,908 = 5,724

Odpowiedź

σ_Y = 5,724

Średnia się przesuwa: E(Y) = 3·2,6 + 1 = 8,8.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,1587

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standaryzuj

z = (111,4 − 105)/6,403 = 1

Górny ogon

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Odpowiedź

P = 0,1587

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 551 h

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,9

z z tablicy

z ≈ 1,28

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 500 + 1,28·40 = 551 h

Odpowiedź

x = 551 h

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 53,19

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 24, t = 2,797

Margines błędu

E = 2,797·20/√25 = 11,19

Przedział

42 ± 11,19 → [30,81, 53,19]

Odpowiedź

górna granica = 53,19

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 7671

Wyznacz n

n = (2,576·34/1)² = 7671

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 7671

Odpowiedź

n = 7671

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,7

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 20/√25 = 20/5 = 4

Statystyka testowa

t = (126,8 − 120)/4 = 1,7

Odpowiedź

t = 1,7

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 139

Wyznacz n

n = (1,96·12/2)² = 138,3

Zaokrąglij w górę

n = 139

Odpowiedź

n = 139

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,8705

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 102/5 = 20,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 33,2

Współczynnik determinacji

r² = −17²/(10·33,2) = 0,8705

Odpowiedź

r² = 0,8705

Około 87,05% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 9,089

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 129/5 = 25,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158

Prosta regresji

b = 158/40 = 3,95

a = 25,8 − 3,95·6 = 2,1

ŷ = 2,1 + 3,95·x

Wyznacz x

x = (38 − 2,1)/3,95 = 9,089

Odpowiedź

x = 9,089

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1